Duda acerca del Teorema Chino del Resto

Más allá de la aplicación del teorema, que es bastante sencilla, tengo una seria duda acerca de lo siguiente:
Supongamos un ejercicio como el siguiente:

1. Sea \(a\in\mathbb{Z}\). Se sabe que el resto de dividir a \(a\) por \(36\) es igual a \(10\) y el resto de dividir a \(a\) por\(10\) es igual a \(6\). Calcular los posibles restos de dividir a \(a\) por \(360\).

Aplicar el teorema en sí es bastante sencillo, pero cuando llegamos a la solución está en módulo de 30 ( \(a\equiv16 (30)\) ). Y aquí el dilema: cuáles van a ser los posibles restos?
Tengo dos teorías:

1. Multiplicar todo por 12 y queda una sola ecuación de congruencia fea.
2. Plantear los diferentes restos como \(restos=16+30k\) , con \(16+30k<360\) .

Gracias al que me pueda contestar!

En realidad yo llego a: \(a\equiv 46 (180)\)

Luego el resto de dividir por 360 es o bien 46 o bien 46+180.
Esa es la onda.

Saludos.

KillSchrodingerCat escribió:

En realidad yo llego a: \(a\equiv 46 (180)\)

Luego el resto de dividir por 360 es o bien 46 o bien 46+180.
Esa es la onda.

Saludos.

Claro, yo también lo pensé así, lo único que varía es como tomar los módulos (en tu caso elegiste 4, 9 y 5 como coprimos dos a dos y llegás a 180, en cambio yo había elegido 2, 3 y 5 y llegué a 30).
El tema es, si elijo la factorización usando los restos de módulo \(2, 3, 5\) , puedo llegar a la solución del ej? (o sea, sí, voy a llegar, pero todas esas soluciones van a ser de alguna de las formas en las que lo plantee antes? tendría que verificar cada una para ver si cumple o hay algún método para saberlo?)
(quizás le estoy pifiando a algo de la teoría, por ahora mi única condición es que los módulos sean coprimos dos a dos)

EDIT: le había pifiado feo, ya lo arreglé.

No estás usando bien el teorema me parece.
TENES que tomar si o si módulos 4, 9 y 5. Si tomás 2, 3 y 5 estás perdiendo mucha información. Acordate que el TCR requiere módulos coprimos entre todos, no necesariamente primos.

Anarky escribió:

No estás usando bien el teorema me parece.
TENES que tomar si o si módulos 4, 9 y 5. Si tomás 2, 3 y 5 estás perdiendo mucha información. Acordate que el TCR requiere módulos coprimos entre todos, no necesariamente primos.

Sí, eso lo aclaré, siempre estoy tomando módulos coprimos dos a dos. Y no sé si pierdo información, más bien diría que estoy generando información de más dado que cualquier múltiplo de 4 es múltiplo de 2. Y lo mismo con 9 y 3, con lo cual el problema radica siempre en lo mismo: cómo paso de las soluciones generales a lo que estoy buscando yo? verificando para cada valor?

(el tema de la información lo podés ver si paso el \(a\equiv1 (9)\) a \(a\equiv1 (3)\) y se ve que en el segundo caso no sólo cubro la primera congruencia, sino que muchas más)

Igualmente vuelvo a repetir: puede que le esté pifiando en algo de la teoría y de ahí mi problema.

No, estás perdiendo info. Con el planteo del problema, vos podés armar el siguiente sistema.

1. \(a\equiv10(9)\)
2. \(a\equiv10(4)\)
3. \(a\equiv6(5)\)
4. \(a\equiv6(2)\)

Que se traduce a

1. \(a\equiv1(9)\)
2. \(a\equiv2(4)\)
3. \(a\equiv1(5)\)
4. \(a\equiv0(2)\)

Pero los \(a\) que cumplen 2) cumplen siempre 4), pero pedir 2) ES MAS FUERTE que pedir 4), por lo que en 2) ya tenes a todos los \(a\) de 4), así que 4) se va. Y te queda el sistema:

1. \(a\equiv1(9)\)
2. \(a\equiv2(4)\)
3. \(a\equiv1(5)\)

Ahora, te quedan 3 ecuaciones de módulos coprimos, y este sistema NO ES EQUIVALENTE A ESTE OTRO:

x) \(a\equiv1(3)\)
y) \(a\equiv2(2)\)
z) \(a\equiv1(5)\)

Porque pedir 1) es más fuerte que pedir x) y pedir 2) es más fuerte que pedir y)

Tenés mucha razón, estaba razonando fuera del recipiente.. Ahora me cierra todo. Ferpecto. Muchísimas gracias, mañana lo rehago y seguro que sale con esto.
Nuevamente, muchas gracias. 😉

Che no veo las respuestas que escribieron alguno, alguien sabe porq? 🙁