Hola: tengo una duda con esto.
En el apunte de Puddu dice (escrito con mis palabrotas).
Q.V.Q. si \(a,b \in \mathbb{Z}, \exists ! \; q,r \in \mathbb{Z} / a=b.q+r\)
Además \(0 \leq r < |b|\)
Primero supongamos (y con esto ya salta mi duda) que a \(\geq 0\) y \(b > 0\)
Nos fabricamos \(S= \{ a-b.q / q \in \mathbb{N}_0 \} \cap \mathbb{N}_0\)
Luego dice, dado que \(S \neq \emptyset\) pués tiene contiene a \(a\) (q=0). Entonces debe tener un primer elemento que voy a llamar \(r\).
$$r = a-b.q \Rightarrow a=r+b.q$$
Luego prueban la unicidad de r. La pregunta es como pruebo (o por qué sucede) que r es el primer elemento de S. ¿No podría ser otro?.
Muchas gracias desde ya.
Erizo
S es un conjunto finito de números naturales, entonces, como son bien ordenados y acotados inferiormente (por 1 de última), deben tener un elemento mínimo. Llamamos simplemente a este elemento r (osea, la única cualidad de r es ser el mas chico, no estoy probando nada sobre r todavía, solo agarro un elemento y lo llamo r).
Esa era la duda?
Firma
Por qué los poetas usan integrales?
Porque Riemann.
Para probar la unicidad, lo que hicimos en clase fue suponer que existen \(r,r',q\) y \(q'\) que cumplen con lo que dice el enunciado y llegás a que \(r=r'\) y \(q=q'\)
Si existe\(r, r',q,q'\) que cumplan lo dicho, entonces \(A= b.q+r=b.q'+r'\)
Luego \(b. (q-q') = r'-r\)
De lo cual tenes que \(b\) divide a\(r'-r\) pero sabes que \(-b < r'-r < b\) y el unico numero que es dividido por b en ese conjunto es el cero, entonces \(r'-r= 0\) y por ultimo \(r=r'\)
Dps sabes que \(b.(q-q') =0\), pero \(b\)es distinto de \(0\)
Buenísimo gente, muchas gracias. La idea y era lo que me trababa es lo llamás r solo por llamarlo, las pruebas vienen a continuación 🙂.
Otra duda ya que estamos.
Muchas veces, cuando se usa inducción, uno la "corta" en algún punto. El ejemplo tonto que me viene a la cabeza es cuando uno prueba cosas en los combinatorios
$$\left(\begin{matrix}n \ i \end{matrix}\right)$$
y se hace inducción sobre i... Esto funciona hasta i=n, pués después el combinatorio está "mal definido". Como se salva estas cosas?
Otro ejemplo es la prueba de que hace Euler sobre el teorema de fermat (el pequeño). http://es.wikipedia.org/wiki/Demostraciones_del_peque%C3%B1o_teorema_de_Fermat
Donde se usa inducción en a, la pregunta es que pasa cuando a llega a p... dado que en algún momento va a valer p...
¿Se llega a entender lo qeu planteo?
Desde ya muchas gracias y perdón por lo molesto :p
Si me imagino bien, si haces las cosas como corresponde no llegas a esas contradicciones. Osea, si probás una propiedad por inducción, empezando en un \(n=n_0\), y probás que \(\forall\ n \ge n_0\), vale una propiedad \(P(n)\) porque si vale para \(n\) vale para \(n+1\), listo, lo probaste. No puede ser que haya un caso \(n = k\) que no se cumpla, porque probaste, en particular, que \(P(k-1) \Rightarrow P(k)\).
Ahora, si la prueba no está bien, entonces si, puede haber casos en los que no se cumpla (o en ninguno, por ejemplo).
En el caso del combinatorio, si lo expandís, ves que te queda un entero negativa factorial. Como eso no puede ser, usarlo en tu prueba va a estar mal, de la misma manera que estaría mal si en un paso de la prueba decís \(0 \cdot n = 0 \cdot m \Rightarrow n = m\). Si probabas que un \(p\) no es divisible por un \(a\), pero estás incrementando el \(a\) sin cota superior, y llega un punto en el que \(a \mid p\), la prueba estaba mal. Habrá un caso particular, habrá cosas raras, pero la cuestión es que la prueba está mal. Como resolver esto va a variar dependiendo de la prueba, puede ser que el camino entero esté equivocado (o que lo que intentes probar sea falso!).
En definitiva, lo que quiero decir es, si lo probaste, lo probaste. Si no te diste cuenta que hay un caso en el que sentís que peligra tu prueba, pero tu prueba es correcta, felicitaciones, te salió igual 🙂 (checkealo de última - si ves que no da, es un contraejemplo para tu prueba, y tu prueba entonces está mal).
haciendo inducción sobre m. La pregunta es que pasa cuando m>n, dado que yo muestro la implicación \(m \Rightarrow m+1\) y \(n\) está fijio
Con respecto al teorema de Fermat (a la demostración de Euler que está en ese link de wiki), creo que pasa algo muy grave: la demostración no usa el hecho que \((a:p)=1\) y es fundamental. Por eso digo que hay algo que no cierra...
Lo de coprimidad es necesario para el teorema de Euler, no el de Fermat (si te estás refiriendo a la primera prueba del artículo, la que hace inducción; esta es la prueba para Fermat, no Euler). Osea, \(p | n^p - n\) para todo n, si p es primo, sin importar coprimidad con p. Ahora, el teo. de Euler requiere que \((a:p)=1\), pero esto ya es otro (y mas poderoso) teorema.
