Este es un metodo distinto? para encontrar el termino general de una recurrencia,seguro muchos ya lo saben,pero me parece interesante y queria dejarlo escrito aca...
Supongamos que tenemos \({({A}_{n})}_{n\in \mathbb{N}}\) definida de la forma...
\({a}_{0}\) y \({a}_{1}\) estan dados y existen \(a,b \in \mathbb{R}\)
tales que \({A}_{n} = a.({A}_{n-1}) + b.({A}_{n-2})}\) para todo \(n\in \mathbb{N}\) con \(n> 1\)
Quiero resolver la recurrencia...
Propongo ,entonces que \({A}_{n} = A. {\alpha}^{n}+B .{\beta}^{n}\) donde \(A\) Y \(B\) son constantes a determinar y \(\alpha\) y \(\beta\) son las raices de ...
\({t}^{2}- a.t -b = 0\) con \(\alpha\neq \beta\)
considero el sistema...
\({a}_{0}= A +B\) y \({a}_{1} = A. \alpha +B .\beta\) luego,despejando resultara...
\(A= \frac{{a}_{1}-{a}_{0}.\beta}{\alpha -\beta}\) y \(B= \frac{-({a}_{1}-{a}_{0}.\alpha)}{-(\alpha -\beta)}\)
Y asi resuelvo la recurrencia...espero que no me haya equivocado mucho y se entienda la idea,hay una demostracion inductiva que prueba que el metodo esta bien,quizas la suba....(por favor,verifiquen que este bien,muchas gracias...)
No verifiqué las soluciones, pero el método es válido y sirve para cualquier relación de recurrencia.
Las sucesiones recurrentes lineales se puede expresar siempre de la forma:
$$C_0 a_n + C_1 a_{n-1} +...+ C_k a_{n-k} = 0$$
Con ciertos datos iniciales (si están igualadas a una constante, se puede llegar igual a una expresión así).
Y se puede demostrar que el término general se puede expresar, siempre que el sistema que queda lo permita, de la forma:
$$a_n = A_0 \alpha_0^n+...+A_k \alpha^n_k$$
Donde \(\alpha_i\) es raíz del polinomio \(C_0x^k+...+C_k\); y \(A_i\) una constante a determinar.
La demostración es muy pava. Se basa en que las relaciones de recurrencia determinan una única función, y luego se verifica que la función dada satisface la relación de recurrencia y los términos iniciales; por lo cual es la función deseada. Que satisfaga a los términos iniciales es, en cierto sentido, trivial, pues estamos forzando a la función que lo haga. La pregunta que nos puede quedar es si satisface la recurrencia, y veremos que esto no es difícil de probar.
Supongamos que la relación que tenemos es
$$a_n + B a_{n-1} + C a_{n-2} = 0$$
Y hallamos que la expresión es \(a_n = b \alpha_1^n + c \alpha_2^n\). Reemplazando esto en la fórmula de recurrencia se obtiene que
$$b \alpha_1^n+ c \alpha_2^n + B(b \alpha_1^{n-1}+ c \alpha_2^{n-1}) + C(b \alpha_1^{n-2}+ c \alpha_2^{n-2})=$$
$$=b\alpha_1^{n-2}(\alpha_1^2 + B\alpha_1 + C) + c\alpha_2^{n-2}(\alpha_2^2+B\alpha_2+C)$$
Pero por hipótesis
$$\alpha_1^2 + B\alpha_1 + C = \alpha_2^2+B\alpha_2+C = 0$$
Por lo que satisface la relación.
Para más términos es lo mísmo pero con puntos suspensivos y más letras.
mira que demo usa recurrencia de sucesiones,no de funciones...son ecuaciones en diferencias..
en fin,la intencion era dejar escrito un metodo util para este tipo de recurrencias,ojala sirva...