Bueno, me cuesta darme cuenta cual es la diferencia entre la factorizacion en C, R o Q. osea cuando tenes un determinado polinomio i te piden la factorizacion en C, Q o R como hago para determinar las raices en cada uno?se qe ya lo deberia saber pero no lo termino de entender :S
Dejo un ejercicio de segundo parcial que no me sale a ver si ayuda en algo:
Hallar todos los a en C para los cuales a es raiz multiple del polinomio:
$${X}^{6}-(a+1){X}^{5}+ a {X}^{4}- {X}^{2}+(a+1)X -a$$
i para cada valor de a hallado tal que a es raiz por lo menos triple, factorizar el polinomio en Q[x], R[x] i C[x].
A ver que sale de todo esto
Como a debe ser raíz múltiple, entonces a debe anular tanto a P como a su polinomio derivado.
$$P(x) = X^6 -(a+1)X^5 -X^2 +(a+1)X -a$$
$$P'(x) = 6X^5 -5(a+1)X^4 -2X +(a+1)$$
Luego, P(a)=P'(a)=0
$$P'(a) = 6a^5 -5(a+1)a^4 -2a +(a+1)= a^5 -a^4 -a +1$$
Fijate que a=1 es raíz... Dividiendo,
Entonces, \(P'(a) = (a-1)(a^4 -1)\)
Pero esto vuelve a tener raíz en 1 (y en -1) y si lo miramos fijo son las raíces cuartas de la unidad... Entonces
$$P'(a)= (a-1)^2 (a-i)(a+i)(a+1)$$
O sea que \(a \in \{1,-1,i,-i\}\)
Bueno, ahora hay que probar estos valores en P, porque que sean solución de P' no implica que lo sean de P... Lo que si se puede decir es que si existe alguna raíz doble, está entre esas que sacamos ahí.
Bueno, será cuestión de probar cual es y cual no es raíz doble. Pero te pide factorizar P con los a que hacen que P tenga al menos una raíz triple por lo que ahora veamos P''
$$P''(X)=30X^4-20(a+1)X^3+12aX^2-2$$
$$P''(a)=30a^4-20(a+1)a^3+12aa^2-2=10a^4-8a^3-2$$
Esto tiene raíz si a=1 por Gauss... Luego,
$$P''(a)=(a-1)(5X^3 +X^2 +X +1)$$
Que no tiene raíz en 1,-1,i,-i
Así que sólo me quedó a=1...
Entonces para a=1 hay que factorizar...
$$P(X)=X^6-2X^5+X^4-X^2+2X-1$$
Se que tiene raíz triple en 1 porque a es uno y si no le pifié en el ejercicio... Bueno, dividiendo por (x-1)^3 (usando Ruffini que la re rulea)
$$P(X)=(X-1)^3 (X^3+X^2+X+1)$$
Y esta cosa de acá \((X^3+X^2+X+1)\) tiene toda la Pinta a \({G}_{4}\). Entonces las raíces de esa cosa serán -1, i, -i
Me queda: (acá viene lo que preguntabas).
La factorización en \(\mathbb{C}\) será
$$P(X)= (X-1)^3(X+1)(X-i)(X+i)$$
El motivo es que el teorema fundamental del álgebra dice que en \(\mathbb{C}\) los polinomios tienen tantas raíces como su grado... (es lo mismo que decir que se puede escribir a los polinomios como producto de polinomios de grado 1...)
En \(\mathbb{R}\), será
$$P(X)=(X-1)^3(X+1)(x^2+1)$$
Un argumento bueno para decir que este es irreducible es que de los 4 polinomios que tenía en \(\mathbb{C}\), 2 de ellos no eran polinomios en \(\mathbb{C}\). Si los multiplico, me dan un polinomio en \(\mathbb{C}\) y por el teorema fundamental de la Aritmética, la factorización es única, entonces no podría, multiplicando de otra manera los polinomios, encontrar otra factorización en \(\mathbb{R}\)
Respecto a \(\mathbb{Q}\), se puede usar el mismo argumento. El polinomio
$$P(X)=(X-1)^3(X+1)(x^2+1)$$
está en \(\mathbb{Q}\), como la factorización es única por el teorema fundamental de la aritmética, la única forma de factorizar \((x^2+1)\) es como ya se hizo en \(\mathbb{C}\) y eso daría polinomios que no pertenecen al cuerpo \(\mathbb{Q}\). Los demás polinomios son de grado 1 así que está todo bien...
Espero que no me haya mandado ninguna burrada.
Saludos
Gracias, ahora me quedaron claras algunas cosas qe antes no entendia, por ejemplo cómo explicar qe esas factorizaciones son irreducibles. esta muy bueno el foro para ayudarnos entre todos, mil gracias 🙂
