tengo la sucesion An= (-1)^n + ( 2 + 3/n)

y quiero hallar el límite superior e inferior:

A simple vista se ve que los puntos límite son {1,3} ( A(2k) tiende a 1 y A(2k+1) tiende a 3 )
la subsucesión de términos pares tiende a 3, y la subsucesión de términos impares tiende a 1.
Hallé 2 puntos límites {1,3}

Para hallar el límite superior tomo el máximo de los puntos límites (max{1,3}) ,entonces LIMSUP An = 3.
análogo para el límite inferior LIMINF An = 1.

¿Esta bien eso?
Mi duda es como hacerlo formalmente usando la definición (por definición) de límite superior e inferior (INF(SUP{An}))
Por que lo que acabo de hacer no es para nada formal.
Incluso tengo otra duda, ¿como demuestro que halle todos los puntos límites, y que no existen mas puntos límites de los que halle?

Está bien lo que pusiste, falta ver que no tiene otros puntos límites. Para eso tomate una subsucesión arbitraria.
Pueden pasar tres cosas: tiene infinitos término pares y finitos impares, tiene infinitos términos impares y finitos pares, tiene infinitos términos pares e impares. En los primeros dos casos los puntos límites son 3 y 1 (para demostrarlo usás que a partir de algún momento tenés solo términos pares o solo impares), y en el tercer caso, tenés que ver que la subsucesión no converge (de la misma forma que ves que la sucesión original no converge).

Para probarlo por definición también deberías ver cuál es el supremo (o ínfimo) entre los de (también separando en casos entre k par o impar) y después tomar ínfimo (o supremo) sobre k.

Me parece mejor la forma en que lo hiciste vos, no hace falta hacer toooodo con la definición que te dieron en clase, podés usar la que te resulte más cómoda, una vez que probaron (o probaste) que son equivalentes.