Una duda me aqueja y espero que alguien aquí puede ayudarme.
Hasta hace algún tiempo yo pensaba que la matemática era absolutamente perfecta, después entré a esta facultad y empezé a ver que no era tan así. Me fueron contando de Gödel, sus teoremas, la incompletitud y la inconsistencia. Mucho no entiendo del tema, por lo que se me mezclan muchas cosas y aparece la duda encuestión.

Duda:
¿Si yo "demuestro" algo en matemática (bien rigurosamente y con todo el bla bla) eso es irrefutable?

Yo creo que sí, pero talvez hay cosas muy oscuras detrás.

Desde ya, muchísimas gracias.

mmm, habria que definir que es irrefutable...
Si la demostración es correcta, entonces lo que vos demostras es cierto dentro de la matematica.

Lo que dice Gödel es que no pueden ser ciertas las dos siguientes afirmaciones:
1) Para toda proposicion P es verdadera P o no P
2) No existe proposicion P tal que son verdaderas P y no P

Como uno supone que la matematica no es contradictoria (es decir que vale 2) para poder vivir en paz, se deduce que hay proposiciones P de forma que no se pueden demostrar ni P ni no P
Ejemplo:
La hipotesis del continuo (que dice que si un conjunto es >= (en cant. de elementos) que los naturales pero menor o igual que los reales, entonces es uno de los 2 (en cant. de elementos)), no es cierta ni falsa (en el sentido que su negacion sea cierta), es independiente de los axiomas.

Lo loco es que por mas que agregues axiomas la demostracion de Gödel sigue andando y siempre van a aparecer cosas que no puedas demostrar pero que no sean falsas.

¿Qué quiere decir irrefutable?

Si está bien demostrado, entonces está bien demostrado, y lo va a seguir estando... o no. Hay teoremas que llevan nombre y apellido [Bolzano, el más famoso], que se creyeron bien demostrados por años, hasta que se encontró un vacío en la lógica, o, en el caso de Bolzano, simplemente los cánones de qué quiere decir que algo este BIEN demostrado cambiaron. Dudo seriamente que nuestra noción de BIEN demostrado permanezca inmutable, pero si querés lo que uno puede decir es lo siguiente: dados algunos axiomas, y algunas reglas de inferencia, lo que uno puede hacer es demostrar que una afirmación se sigue de los axiomas usando solo una regla de inferencia. Hay un proyecto en internet [nunca lo puedo encontrar cuando lo busco] de recolectar demostraciones "definitivas" de ciertas cosas, donde cada paso lógico es uno de los pasos básicos, y se parte de los axiomas o de cosas ya probadas. Una demostración de Bolzano en ese lenguaje es no solo larguísima, sino ilegible. El tema es que entonces chequear que todos los pasos estén bien lo puede hacer una computadora de manera mecánica.

El tema es que eventualmente los axiomas o las reglas de inferencia cambian con el tiempo, están sujetos a los gustos de los matemáticos del momento. Por ejemplo, en su momento el teorema de Cauchy de complejo/mate4 se enunciaba como "toda función compleja cumple con la igualdad blah". Pasa que en esas épocas función compleja quería decir función analítica... ¿qué es "demostrar" esa afirmación?

Lindas respuestas, muchas gracias.
Con irrefutable me refería a contradictorio (creo), o sea, que va a valer para cada caso, que mientras que se cumplan las hipótesis no importa los números o funciones que meta, va a valer.

¿Yossa, lo que decís de las demostraciones con computadoras es esto: ?

Gödel usa el 3ero excluido sin remordimientos. No inventó una "nueva" lógica, simplemente demostró algo acerca de cualqueir sistema de axiomas, enmarcado en la lógica proposicional de primer orden [es decir, la que habla sobre ciertos objetos indefinidos, pero no sobre afirmaciones sobre los objetos, no sobre afirmaciones de las afirmaciones, etc.]

Hola.

Sobre el teorema de Gôdel, Gustavo Piñeiro, coautor del libro Gôdel para todos, va a dar un curso gratuito en exactas a partir de agosto. Pueden leer al respecto en el enlace: http://godelparatodos.blogspot.com/

Otro enlace que les puede resultar interesante es el siguiente: http://rinconmatematico.com/foros/index ... ic=22263.0
Es una discusión que se está llevando en otro foro de matemática acerca del teorema de Gödel.

Saludos.

Justo iba a postear lo mismo que posteó Pato, de Metamath. Una cosa que me viene a la mente sobre si probar algo en un momento lo prueba in eternum, es que hay cosas que en algún momento se pueden tomar como axiomáticas, y en algún otro momento dejan de serlo. Si una prueba se basa en algo que se cree axiomático, y resulta que en realidad es contradictorio con los otros axiomas (por ejemplo), la prueba va a estar mal. Mismo con usar teoremas que resulten ser falsos.
Osea, lo que se puede probar es que lo que vos decís es una conclusión directa de la aplicación (repetida) de los axiomas en lo que te basás - de eso que se pueda llamar a la matemática "el arte de ponerle nombres nuevos a cosas conocidas" (es medio insultante, pero bueno). Hay intentos de probar /bien rigurosamente/, y desde los axiomas básicos, como ZF o ZFC (ZF + choice), que algo se deriva. Un ejemplo lo tenés en Principia Mathematica de Bertrand Russel y Whitehead:

Estos contienen derivaciones lógicas a partir de los axiomas elegidos, y como se vé son increiblemente tersos e ilegibles.

En contraste, se puede recordar a Euclides y su 5to postulado. Muchas cosas pueden ser probadas con geometría euclídea, pero tranquilamente podés decir que el 5to axioma (referente a lineas paralelas) es falso, generando geometrías no-euclídeas, y tus teoremas y conclusiones, en este nuevo sistema axiomático, pueden ser falsos. Con lo que hay que tener cuidado es que al usar un teorema, cuidarnos de lo que asume. Esto se puede hacer muy complicado - los teoremas que uno usa en el día a día son complejísimos de probar axiomáticamente, por eso para probar TU teorema, que se basa en ellos, axiomáticamente, te puede llegar a costar un huevo (para ver cuanto cuesta, fijarse que puede requerir 25,933 pasos), porque tenés que recursivamente probar todo teorema que usás.

Ahora, una vez que probás algo dentro de ciertos axiomas, y las reglas de inferencia que usaste (reemplazo de identidades, inducción, etc) son válidas, entonces listo. Tu teorema se deriva de los axiomas. Ahora, si cambiás los axiomas ya no se puede, a priori, decir nada sobre la validez de tu teorema.

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Sobre Gödel, nunca entendí demasiado bien como probó que las cosas son (consistentes Δ completas), vi en History Channel (famoso por la rigurosidad de sus pruebas matemáticas) que hizo algo equivalente a convertir las palabras "La matemática no es consistente" a matemática, entonces si probás la oración, es falsa y sos inconsistente, entonces lo único que queda es no poder probarla y ser incompleto. Es algo así o mand(é|ó) fruta?

Si, es asi como decis. Y la forma de hacerlo es usar un numero para cada simbolo y entonces una proposicion se transforma en una concatenacion de numeros (o sea otro numero). Lo que hizo Gödel es construir una proposicion que decia "la proposicion cuyo numero de Gödel es n es falsa" y luego mostraba que el numero de Gödel de dicha proposicion era n (aca n es explicito).

Bah, por ahi yo tambien mandé fruta, pero eso es lo que me acuerdo.