La idea del siguiente post es dar una lista de definiciones y propiedades útiles a la hora de resolver un dado ejercicio teórico-práctico. Esta primera parte cubre la práctica I. Además, el resumen está basado en las clases teóricas de Gabriela Jerónimo y en resultados expuestos en las prácticas. Ahora, sin más interrupciones, el resumen:
Definición: sea un cuerpo, conjunto no vacío, una operación en y una acción de en . Se dice que es un -espacio vectorial si: i) es un grupo abeliano ii) La acción cumple a- b- c- d-
Los elementos de se llaman vectores y los de se llaman escalares. La acción se llama producto por un escalar.
Para todo , un -espacio vectorial, se verifica:
- - - - -
Definición: Sea un -espacio vectorial. Un subconjunto no vacío es un subespacio de si la suma y el producto por escalares son una operación en y una acción de en que lo convierten en un espacio vectorial.
Propiedad: Sea un -espacio vectorial, y . Luego, es un subespacio de si y sólo si: i) ii) iii)
Propiedad: sean , donde es un -espacio vectorial, y subespacios vectoriales de . Entonces es un subespacio vectorial de
Propiedad: sean , donde es un -espacio vectorial, y subespacios vectoriales de . Entonces es un subespacio vectorial de .
Definición: sea un -espacio vectorial, un conjunto de índices, . Una combinación lineal de es un elemento de tal que salvo para finitos
Definición: sea un -espacio vectorial, , se dice que es un sistema de generadores si todo elemento de es una combinación lineal de , y se nota .
Propiedad: sea un -espacio vectorial, y , subespacio. Sea . Entonces vale
Corolario: Sea un -espacio vectorial, y sea . Entonces
Propiedad: sea un -espacio vectorial, .
i) (o sea, el orden de los vectores no varía el subespacio generado). ii). iii)
Definición: Sea un -espacio vectorial, y sea una familia de vectores de . Se dice que es linealmente independiente(l.i) si se verifica .
Si no es linealmente independiente, decimos que es linealmente dependiente(l.d)
Propiedad: sea un -espacio vectorial, y . Entonces es l.i (saco el -ésimo vector del conjunto, en el orden dado).
Propiedad: sean . El conjunto es linealmente independiente sobre es linealmente independiente sobre
Propiedad: sea un -espacio vectorial, .
i) es l.i es l.i (o sea, el orden de los vectores no varía la independencia lineal). ii) es l.i es l.i. iii) es l.i es l.i
Propiedad: si tenemos , podemos construir la matriz que tiene a los por filas, , luego triangularla completamente hasta obtener una matriz , y será l.d tiene al menos una fila nula.
Definición: sea un -espacio vectorial. Una familia es una base de si es linealmente independiente y .
Para espacios vectoriales , como , una base usual y úitl para considerar es la base canónica, , donde . De manera análoga, se definen las bases para , y para , para esta última, particularmente, . La base canónica suele notarse con la letra mayúscula . En otros casos, se usará la letra para notar una base.
Propiedad: sea un -espacio vectorial finitamente generado. Luego, existe una base de .
Propiedad: sea un -espacio vectorial finitamente generado. Luego, si son bases de , la cantidad de elementos de ambas son iguales, o sea, .
Propiedad: sea un -espacio vectorial, de dimensión finita. Sea base de . Entonces para cada , existen únicos escalares tal que .
Definición: sea , un subespacio vectorial de , un -espacio vectorial. Si es una base de , definimos la dimensión de en , y la notamos , al cardinal de . En este caso, . Cuando se de por conocido , simplemente notaremos .
Diremos que un espacio vectorial tiene dimensión finita si la base de tiene cardinal infinito, o sea, .
Propiedad: sea un -espacio vectorial, de dimensión finita.
i) Sea un sistema de generadores de . Entonces, existe tal que es base de . ii) Sea un conjunto l.i de . Entonces, existe tal que es base de .
Propiedad: sean , subespacios, y un -espacio vectorial, de dimensión finita. Entonces se verifican: i) ii)
Definición: sea un -espacio vectorial, subespacios de . Se llama suma de y a
Propiedad: sea un -espacio vectorial, subespacios de . Valen: i) es un subespacio de . ii)Si sistemas de generadores de respectivamente. Entonces es sistema de generadores de
Propiedad(Teorema de la dimensión para la suma de subespacios): sea un -espacio vectorial de dimensión finita, y subespacios de . Entonces se verifica .
Definición: sea un -espacio vectorial, , subespacios. Decimos que es suma directa de y , y lo notamos , si se verifica: i) ii)
Propiedad: sea un -espacio vectorial, , subespacios, y . Sean bases de respectivamente. Entonces es base de .
Propiedad: sea un -espacio vectorial, , subespacios, y . Entonces, para cada existen únicos tales que .
Definición: sea un -espacio vectorial, , subespacio. Decimos que es un complemento de en si . Para construir un complemento de un subespacio , basta tomar una base de , y extenderla a una base de , y luego, formar la base del complemento a partir de los vectores agregados.
Bueno, espero que esta primera parte ayude... si bien tuve que haber estado antes del primer parcial... saludos.
_________________ I offer her that kernel of myself that I have saved, somehow; the central heart that deals not in words, traffics not with dreams and is untouched by time, by joy, by adversities
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