La idea del siguiente post es dar una lista de definiciones y propiedades útiles a la hora de resolver un dado ejercicio teórico-práctico. Esta primera parte cubre la práctica I. Además, el resumen está basado en las clases teóricas de Gabriela Jerónimo y en resultados expuestos en las prácticas. Ahora, sin más interrupciones, el resumen:

Definición: sea un cuerpo, conjunto no vacío, una operación en y una acción de en . Se dice que es un -espacio vectorial si:
i) es un grupo abeliano
ii) La acción cumple
a-
b-
c-
d-

Los elementos de se llaman vectores y los de se llaman escalares. La acción se llama producto por un escalar.

Para todo , un -espacio vectorial, se verifica:

-
-
-
-
-

Definición: Sea un -espacio vectorial. Un subconjunto no vacío es un subespacio de si la suma y el producto por escalares son una operación en y una acción de en que lo convierten en un espacio vectorial.


Propiedad: Sea un -espacio vectorial, y . Luego, es un subespacio de si y sólo si:
i)
ii)
iii)

Propiedad: sean , donde es un -espacio vectorial, y subespacios vectoriales de . Entonces es un subespacio vectorial de

Propiedad: sean , donde es un -espacio vectorial, y subespacios vectoriales de . Entonces es un subespacio vectorial de .

Definición: sea un -espacio vectorial, un conjunto de índices, . Una combinación lineal de es un elemento de tal que salvo para finitos

Definición: sea un -espacio vectorial, , se dice que es un sistema de generadores si todo elemento de es una combinación lineal de , y se nota .

Propiedad: sea un -espacio vectorial, y , subespacio. Sea . Entonces vale

Corolario: Sea un -espacio vectorial, y sea . Entonces

Propiedad: sea un -espacio vectorial, .

i) (o sea, el orden de los vectores no varía el subespacio generado).
ii).
iii)


Definición: Sea un -espacio vectorial, y sea una familia de vectores de . Se dice que es linealmente independiente(l.i) si se verifica .

Si no es linealmente independiente, decimos que es linealmente dependiente(l.d)

Propiedad: sea un -espacio vectorial, y . Entonces es l.i (saco el -ésimo vector del conjunto, en el orden dado).

Propiedad: sean . El conjunto es linealmente independiente sobre es linealmente independiente sobre

Propiedad: sea un -espacio vectorial, .

i) es l.i es l.i (o sea, el orden de los vectores no varía la independencia lineal).
ii) es l.i es l.i.
iii) es l.i es l.i

Propiedad: si tenemos , podemos construir la matriz que tiene a los por filas, , luego triangularla completamente hasta obtener una matriz , y será l.d tiene al menos una fila nula.

Definición: sea un -espacio vectorial. Una familia es una base de si es linealmente independiente y .

Para espacios vectoriales , como , una base usual y úitl para considerar es la base canónica, , donde . De manera análoga, se definen las bases para , y para , para esta última, particularmente, . La base canónica suele notarse con la letra mayúscula . En otros casos, se usará la letra para notar una base.

Propiedad: sea un -espacio vectorial finitamente generado. Luego, existe una base de .

Propiedad: sea un -espacio vectorial finitamente generado. Luego, si son bases de , la cantidad de elementos de ambas son iguales, o sea, .

Propiedad: sea un -espacio vectorial, de dimensión finita. Sea base de . Entonces para cada , existen únicos escalares tal que .

Definición: sea , un subespacio vectorial de , un -espacio vectorial. Si es una base de , definimos la dimensión de en , y la notamos , al cardinal de . En este caso, . Cuando se de por conocido , simplemente notaremos .

Diremos que un espacio vectorial tiene dimensión finita si la base de tiene cardinal infinito, o sea, .

Propiedad: sea un -espacio vectorial, de dimensión finita.

i) Sea un sistema de generadores de . Entonces, existe tal que es base de .
ii) Sea un conjunto l.i de . Entonces, existe tal que es base de .

Propiedad: sean , subespacios, y un -espacio vectorial, de dimensión finita. Entonces se verifican:
i)
ii)

Definición: sea un -espacio vectorial, subespacios de . Se llama suma de y a

Propiedad: sea un -espacio vectorial, subespacios de . Valen:
i) es un subespacio de .
ii)Si sistemas de generadores de respectivamente. Entonces es sistema de generadores de

Propiedad(Teorema de la dimensión para la suma de subespacios): sea un -espacio vectorial de dimensión finita, y subespacios de . Entonces se verifica .

Definición: sea un -espacio vectorial, , subespacios. Decimos que es suma directa de y , y lo notamos , si se verifica:
i)
ii)

Propiedad: sea un -espacio vectorial, , subespacios, y . Sean bases de respectivamente. Entonces es base de .

Propiedad: sea un -espacio vectorial, , subespacios, y . Entonces, para cada existen únicos tales que .

Definición: sea un -espacio vectorial, , subespacio. Decimos que es un complemento de en si . Para construir un complemento de un subespacio , basta tomar una base de , y extenderla a una base de , y luego, formar la base del complemento a partir de los vectores agregados.

Bueno, espero que esta primera parte ayude... si bien tuve que haber estado antes del primer parcial... saludos.