Ejercicio 1. Producto de espacios vectoriales: Sean -espacios vectoriales (no necesariamente de dimensión finita). Se define el producto cartesiano de por :
Este espacio resulta ser un -espacio vectorial con las operaciones:
y (No hace falta probarlo).
Exhibir una base de en función de una base de y de una base de (Demostrar). ¿Cuál es la dimensión de si y tienen dimensión finita?
Ejercicio 2. a) Sea una base ortogonal de y sea la matriz de cuyas columnas son los vectores (columna) Probar que (Sugerencia: Calcular ).
b) Sea una base de y sea la base que se obtiene aplicando el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt a Probar que se tiene , y que
c) Desigualdad de Hadamard: Probar que para todo donde son vectores columna cualesquiera, se tiene
Ejercicio 3. Sea la matriz que tiene todos sus coeficientes iguales a 1.
a) Probar que es diagonalizable, y determinar diagonal y inversible tal que
b) Sea Probar que es diagonalizable, y determinar diagonal y inversible tal que
Ejercicio 4. Sea Probar que
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