Hola a todos! Dejo estos ejercicios que me parecieron bastante interesantes. Cualquiera que esté preparando el final de lineal creo que le va a venir bien! Si hay algún ejercicio que no les salga chiflen y posteo la solución. Saludos!

Sea y sean sus autovalores contados con su multiplicidad y colocados en un órden prefijado. Demostrar que:

(unitarias) y (triangulares superiores) tales que:


(léase la diagonal de T). Es decir,

Si y (ortogonales) y

Si tal que conmuta con y tales que, (Con la misma ) y
tendrá a los autovalores de pero en un orden que no se podrá elegir

Sugerencia: Probar por inducción en n (el tamaño de la matriz A) y deducir y
El resultado anterior se conoce como el Teorema de descomposición de Schur


Sea y sean sus autovalores contados con su multiplicidad. Probar que son equivalentes:

es normal (i.e. )

es unitariamente diagonalizable (i.e. diagonal tal que )

Se satisface la igualdad

Existe BON de autovectores de

Deducir que para toda matriz Hermítica () para toda matriz Antihermítica () y para toda matriz Unitaria () existe BON de autovectores .

Sugerencia: Utilizar el Teorema de Schur y notar que . Probar .
El resultado anterior se conoce como el Teorema Espectral para matrices normales


Sea NORMAL y sea . Utilizando probar que se puede descomponer como donde los satisfacen que:

(son idempotentes, es decir, son proyectores)

(son hermíticos)



(verificar que )

( es el proyector ortogonal cuya imagen es )

El resultado anterior se conoce como Teorema de descomposición espectral para matrices normales

Llego un poco tarde, pero tenes la solucion (o alguna pista) para el y para la implicacion del ?

Para el usá la descomposición que te da el punto . Para el otro que preguntas basta notar que la matriz triangular superior que te da el punto es en realidad una matriz diagonal. Para esto podés usar tu hipótesis notando que y fijate que te da eso.