bueno, yo tengo este problema
tengo anotado en sucesivos lugares que cuando diagonalizás la matriz de una forma bilineal usando esos métodos de las operaciones por filas y por columnas, los numeros uqe obtenes en la diagonal no son los autovalores. Ahora bien, ciertamente esos numeritos son los autovalores de la matriz diagonal, no? entonces,estoy significa que la matriz diagonal y la original no son semejantes??
realmente tengo un gran lio conceptual con este tema, si alguien me pudiera ayudar se lo agradecería mucho :)

Tengo una duda, los números de la diagonal: son los autovalores?, o son los autovalores?

Cuando vos ''diagonalizás'' una forma bilineal, lo que hacés es buscar una matriz que verifique , donde es diagonal. Ahora, como son matrices transpuestas, no hay ''garantía'' que sean inversas ergo no tienen por qué aparecer en la diagonal los autovalores.
Sin embargo... pueden aparecer los autovalores... dado que las formas bilineales son simétricas, si , podés hallar ortogonal tal que te verifique eso y ahi si podrías llegar a la matriz diagonal con los autovalores... aún así, si querés dejar , claramente perdés esa condición... ¿se entiende? La semejanza se basa en matrices , no en matrices ... espero haber aclarado. Saludos.
PD: esto pasa porque para cambiar de base, , hacés

gracias!!

entonces.. en el caso de las formas bilineales simetricas si, existe una matriz ortogonal tal que es diagonal real, entonces en ese caso si encuentro esas matrices si me quedan los autovalores?
pero si hago el método de las operaciones por filas y columnas no me estoy garantizando que los que me queden ahi sean los autovalores.. no?


ahora.. si la matriz diagonal que me queda no es semejante a la que tenia originalmente... por qué puedo decir que la estoy diagonalizando?? porque se corresponde con la misma forma bilineal??

creo que este tema mme dejo muchos baches conceptuales jeje

Respondo numeradas a tus preguntas:
A)si. Para , nuevamente, siempre existe tal matriz.
B)Si hacés el método de operaciones de filas y columnas, no te quedan los autovalores en general; solo se conserva el signo de los mismos(una cosa, por las duda lo agrego; si querés diagonalizar la forma bilineal, no trates de encontrar autovalores y demás; operá por filas y columnas. Porque esa ''diagonalización'' no la del sentido ''tradicional''. Salvo que la matriz sea real, y volvés al caso A). Nuevamente, es recomendable que operes por filas y columnas.)
C)Es que no es el sentido de diagonalización usual... en la diagonalización usual, es semejante, porque existe que verifica diagonal. Acá eso no tenés... si se quiere, es otro sentido de semejanza, con matrices transpuestas.

Para que te convenzas un poco, si tomás el determinante, tenés:

O sea... ni siquiera tienen que ser semejantes... ¡pueden tener determinantes distintos!... ¿cuándo semejante...? no está claro, tal vez... pero de acá se deduce que tiene que valer ... y eso en general no pasa(observá que si pasa para matrices ortogonales en )
Espero haber respuesto la duda. Saludos.

buenisimio c he, muchas g racias
si, justamente lei algo que habia dicho el ayudante de la tarde cuadno dio la clase, de que poder escribiral en una forma diagonal no es lo mismo que diagonalizarla. es un poco sutil, como diria de napoli, pero bueno, creo que ya entendi la idea, asi que muchas gracias nuevamente

offtopicmente, como te fue en analisis? a mi creo que bastante mal, jeje, no estaba muy preparada

te fue mal? no creo. Yo sumé mal ... para mi era ... en el ejercicio 3)... encima, después de eso, venía el resultado final... ¡¿cómo puedo equivocarme un paso al resultado final?!(justo había que triangular... jaja, increíble, nunca triangulo nada bien)... en fin, creo que bien, en general. A esperar... gracias por preguntar. ¿a los demás?

en realdiad creo que si bastante mal, o sea, el 1 me di cuenta como hacerlo 10 minutos antes de entregar, asi que solo llegue a plantearlo... el 2 ye l 3 puede que los tengab ien, pero tambien puede que tenga errores de cuentas o algo asi, y el 4 creo que lo tengo mal,.. existen puntos de equilibrio que no sean ni estables ni inestables? no estoy segura de saber cudando los clasificamos jaja... seria un bajon tener que dar recuperatorio de analisi sla verdad. al resto de la gente creo que le fue bien en general, excepto a los fisicos que apostamos por fisica y no le dimos mucha bola.. :p

Entendi esto de diagonalizar formas bilineas (creo)
Lo que no entiendo es cuando pide que queden 1, -1, 0 en la diagonal. O sea, hago la misma cuenta que diagonalizar, pero a los vectores de la matriz debo multiplicarlos por para que al hacer la matriz queden esos lindos 1's y -1's y 0's. Es correcto esto?
vendria a ser el valor (en modulo) que queda en la diagonal

Hacés la misma cuenta que diagonalizar, si querés hallar matrices ortogonales, para el caso de una matriz real simétrica, o en el caso que la matriz admita eso. Pero nuevamente, esos solamente podrían llegar a ser los autovalores si quedan en la diagonal, lo cual no sucede en general, pero si particularmente, cuando buscás matrices ortogonales(o sea, los cambios de base son matrices ortogonales). ¿se entiende?

Gracias por la respuesta, pero no entendi mucho
Con no hacia referencia a los autovalores sino a lo que queda al "diagonalizar" (no fue una buena eleccion de notacion)
Entonces, si quiero que me queden los 1,-1, 0, hago exactamente la "diagonalizacion" de bilineales, ni mas ni menos, o hay que toquetear algo?

Ah, entonces hacés lo que decís.

Muchas gracias