Un par de ejercicios extra, una pequeña selección que siempre me gustó

1. Sea . Demostrar que es semejante a .

2. Sea una transformación lineal, donde es un -e.v. de dimensión . Se dice que es un vector cíclico de si el conjunto forma una base del espacio . demostrar que si tiene un vector cíclico, y es otra transformación lineal de en , tal que , entonces existe un polinomio tal que .

3. Sea . Caracterizar las matrices tales que

Lo asombroso respecto del 2 es que vale la siguiente reciproca (mas dificil):
Si A es una tl tal que entonces A tiene un vector ciclico.

Es cierto, tenía la intención de poenr el si y solo si, y me colgué explicando qué era un vector cíclico y me olvidé . De lo mejorcito que uno aprende en álgebra lineal!

Para el creo que está así:

Cuando pregunté si esto era cierto, había llegado hasta donde llegaste vos... Ahora... ¿me podés mostrar explícitamente cómo se reordena la base? ('ja joder... es la mitad del ejercicio )

Yo usé otra idea:

No es tan larga como parece la idea; usé muchas propiedades, eso si. La idea de Agustín usó menos de todo.

Leeeendo. ¿y el del vector cíclico? Ese es posiblemente el ejercicio más difícil de Álgebra Lineal que vi durante mi cursada... y de los más lindos

Sea una transformación lineal, donde es un -e.v. de dimensión . Se dice que es un vector cíclico de si el conjunto forma una base del espacio . Demostrar que si tiene un vector cíclico, y es otra transformación lineal de en , tal que , entonces existe un polinomio tal que .



Sea un -ev de dimensión y un endomorfismo. Caracterizar los endomorfismos tales que .



La recíproca que dijo Quimey: si es t.l. tal que si y sólo si entonces tiene un vector cíclico.



Para compensar dejo dos problemas no triviales:

1. Si es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera y es un endomorfismo entonces hay un vector cuyo polinomio minimal (definido con respecto a ) coincide con el polinomio minimal de .

2. Si y son cuerpos, es subcuerpo de , y hay con entonces hay con .

(La demostración que sé del segundo la saqué de un libro. No usa nada fuerte, salvo que todo espacio vectorial tiene una base, pero es bastante ingeniosa.)

Una sugerencia para el mio:


El 2. que pusiste esta bueno, pero yo lo se hacer con teoria de Galois, el caso que sale a mano es con y

Uso tu sugerencia en mi solución, así que no entiendo bien qué quisiste decir.

¿Querés decir que tu problema sale usando sólo cosas de lineal?

Ah, un detalle: la demostración que conozco del 2. anda sólo si es infinito.

si, mi problema sale con lineal, esta de ejercicio en el huffman

Aca está la solución del mio solo con lineal:

Pero yo lo estaba pensando en cuerpos en general. Vos estás asumiendo que el cuerpo es algebraicamente cerrado. Y en ese caso particular ya me había salido, porque la descomposición del espacio en subespacios "cíclicos" (en el sentido que definí) se obtiene re fácil toqueteando la base de Jordan (ya dije cómo).

Lo bueno es que me bajé el libro de huffman (lo que me bajé es exactamente Linear Algebra, 2nd Edition - Kenneth Hoffmann And Ray Kunze), y ahí está la demostración de lo que uso. Es lo que me faltaba para poder decir que sé demostrar tu problema. FYI, está re bueno ese libro, aunque algunas demostraciones me parece que el libro de Jerónimo las hace más fáciles.

Gracias, Yossarian y Quimey, por los problemitas. Aprendí un montón pensándolos.