Determinar una base tal que la simetria tal que f(1,1,0)=(0,-1,-1). No se ni por donde verlo.

Decime que cosas le tienen que pasar a una simetría

Dos autovalores 1 y uno -1. Det=-1 Traza=1. Es simetria respecto de los autovectores de autovalor 1

Creo que podrias tomar la resta entre esos vectores , el resultado debe tener la misma dirección que el eje de simetría. Esto no se bien como justificarlo mas que geométricamente. Alguno se le ocurre?.
Después, con ese dato podes encaminarte para terminar de definir la transformacion

mmmm lo que me dijiste esta bien pero no estas teniendo en cuenta lo que le pasa en el fondo a la simetría. La simetría se caracteriza porque deja fijo al plano de simetría y al espacio ortogonal de este lo mantiene invariante. Hacete un dibujito en R^3 para verlo mejor y fijate como podes aplicar esto a tu problema

No logro resolverlo.

Cuando encontras el eje de simetría, te faltaría decir a donde manda , tu transformación, los vectores ortogonales a ese eje. Como es una simetría, sabes que el uno es autovalor doble . El autovector del -1 ya sabes quien es. Y listo, te queda definida la transformación en una base , faltaría normalizar.

No logro encontrar el eje de simetria. Y el autovector del -1 no lo tengo.