Bueno, voy a usar eso de que es isomorfo a , por el simple hecho de que las cuentas van a ser mas familiares. Se puede hacer sin esto, pero me siento más cómodo poniéndolo en un plano clásico de vectores.
La manera de llevar algo de a es tomar coordenadas. Es decir, que si me dan una cosa de la forma con , que vive en , yo lo considero el vector , que vive en .
Entonces, si lo que me dicen es que esta transformación lineal manda a , lo puedo pensar como que me dicen que manda a , . Entonces, podés ver qué hace esto en la base canónica de :
Entonces, podés pensar que esta transformación es
Calcularle el núcleo a esto es relativamente fácil. Si :
Entonces, ahí encontramos el núcleo. Pero ojo, esto es porque lo "transformamos" a . El ejercicio habla de un endomorfismo de , entonces tenemos que pasar esto a . Esto es simplemente el reverso de lo que habíamos hecho antes, entonces pasamos coordenadas, y nos queda que el núcleo pedido es .
La imágen va a ser lo demás, pués podés aplicarle a una base de (por ejemplo la canónica) y ver que es generada por los otros 2 vectores, y (o, más precisamente, y ). Es fácil verificar que estos dos vectores resultantes serán L.I. Entonces son base, y la imagen tiene base (o, volviendo a nuestra analogía con , ).
Bueno, esos son el núcleo y la imagen. Ahora te piden calcular , con .
Si recordamos, va a ser la transformación lineal que lee en base , aplica , y escribe en base . Estas son tres "acciones" distintas, o por lo menos se pueden pensar así. "Leer" en una base, es decir que es una función que pasa de coordenadas en base , a la base canónica. Escribir es análogo: una función que recibe coordenadas en la base canónica, y te devuelve las coordenadas en la base . Lo bueno, es que estas matrices son la inversa la una de la otra (lo podés pensar como que dado que "pasar coordenadas" es un isomorfismo, tiene inverso, y es claro que pasar de una base a la canónica, y de vuelva a la misma base, es la función identidad, entonces deben ser inversas). Y
encima, la "matriz que lee en la base y te devuelve coordenadas en la base canónica", no es otra cosa que los vectores de la base, puestos como columnas.
Bueno. Entonces, tenemos 3 acciones: Pasar de a , pasar de a , y aplicar en la base canónica.
Estas acciones son realizadas por las matrices , , y .
Entonces, "porque hablan el mismo idioma" (podés ir considerando que pasa cuando evaluás, de izquierda a derecha, el resultado de lo siguiente), es cierto que
Entonces, es solo cuestión de encontrar estas 3 matrices, y multiplicarlas. La del medio ya la sabés, la calculamos en el ejercicio anterior. Veamos cuales son las otras dos.
Volviendo a nuestro isomorfismo entre y , veamos qué es esta base que nos dan, sabiendo que la base canónica de es :
, en nuestro isomorfismo imaginario. Esto es simplemente de ver qué cosas aparecen de en cada vector de . Entonces, como sabemos,
Y podemos calcular la última matriz, dado que:
Entonces, ya tenemos una forma para , que es multiplicar esas 3 matrices en ese orden. Esas 3 matrices multiplicadas te van a dar un elemento de , que no es exactamente lo que pide el ejercicio, pués nosotros nos valimos de un isomorfismo.
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Entonces, cuando tenés esa matriz de 3 filas y 3 columnas, pasá cada columna a lo que sería en su forma polinomial canónica: la columna se transforma en en la matriz pedida.
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Bueno, espero no haberme mandado macanas (aunque sé que la probabilidad de eso es infinitesimal). Cualquier cosa preguntá, y éxitos mañana
EDIT: Creo que estoy mintiendo al final con lo de la matriz, ahí te confirmo / lo corrijo xD
