Problema 1: Sea una matriz y sea la matriz que se obtiene rotando 90 grados (en sentido horario) a la matriz A. Calcular el en función del .

Este es cortito.

justamente para n=3 no vale tu formula pues el det B=-Det A y de acuerdo a tu fórmula estas diciendo que det B=det A.
PD: jajaj los dos posteamos lo mismo

como dije en el post que escribi el signo del determinante cambia cada dos. es decir para n=2 y n=3 det B=-det A. para n=4 y n=5 det B=det A, y asi siguiendo.
luego para el detB=- det A ylas otras dos clases de equivalencia vale la igualdad
ahora como probar que esto vale para todo n
(tengo problemas para formalizar )

Soy un bobo, para cambiar 2 columnas (poner una en el lugar de la otra) calculé que hay que hacer 2 cambios, cuando hay que hacer 1 solo xD
Si tengo n columnas, pueden pasar 2 cosas: Si n es par, entonces tengo que cambiar n/2 columnas. Si n es impar, voy a tener una central que no va a cambiar, entonces voy a cambiar (n-1)/2 columnas.
Esto es lo que estabas diciendo, no (porque de acá sale lo de mod 4)?

EDIT: Creo que el problema viene de que no hay una noción muy matemática, aparte de la que encontramos, de qué es "rotar 90 grados". Podés decir que la fila i-ésima pasa a ser la columna ((-i) mod n), pero no mucho mas que eso. De ahí sale que es la traspuesta, con las columnas cambiadas de i a -i (mod n).

Para lo primero:
No no, concuerdo con lo que decís: Hay 4 casos. Separo en si n es par o no par. Ahí voy a hacer n/2 o (n-1)/2 permutaciones. Pero fijate que esto es lo mismo que decís - hacer un número par de permutaciones indica que o n/2 es par (osea, es 0 modulo 4) o (n-1)/2 es par (osea, n es 1 mod 4). Entonces, si n es 0 o 1 mod 4, hago un número par de permutaciones. Si es 2 o 3 mod 4, hago lo otro (osea, un número impar de permutaciones, osea me queda negativo).

Para lo segundo:

Imaginate una matriz de (jaja, fácil decirlo), un poco traslúcida. Coloreá la fila i-ésima (ponele i = n/4, osea cerca del techo). Ahora rotá toda la matriz 90º hacia la derecha.
La fila ahora es una columna, pero está pegada a la pared derecha. Cuan pegada? Bueno, está a 3/4 del camino en la matriz, osea a 3n/4, porque era de la matriz.
Ahora imaginate la misma matriz, traslúcida. Poné un i cerca del piso ahora, digamos i = 3n/4. Girá la matriz 90º para la derecha. Ahora esa fila es una columna, pero está pegada a la izquierda. Cuan pegada? Está a n/4 de la pared izquierda, o a 3n/4 de la derecha.

Mientras más chiquito el i que elegiste antes (pero siempre antes de n/2), mas pegada a la pared derecha va a terminar. Y mientras mas grande elegiste el i (pero siempre mas grande que n/2), más pegada a la pared de la izquierda va a terminar.
Ponele que es de grado impar, entonces hay una columna central. Rotada 90º, simplemente se convierte en la fila central de esta nueva matriz.

Esto se vé mejor si empezás a contar las filas y columnas a partir del 0, no del 1. Tenés la columna 0-ésima. En que fila se va a convertir? -0 mod 15 = 0, osea en la primer fila. Tenés la fila 4. En que columna se va a convertir? (-4) mod 15 = 11.

Porai confundí muchísimo xD Conviene que haga un grafico, no?

Servirá tomar la parte entera de n/2 como exponente?