Problema 6: Sean espacios vectoriales. Supongamos que tenemos el siguiente diagrama de transformaciones lineales:

donde y son monomorfismos, y son epimorfismos, , , y . Probar que si y son monomorfismos (resp. epimorfismos) entonces también es monomorfismo (resp. epimorfismo).



Bueno, esto fue todo, espero que les haya gustadoooooo chau.

Che, debe ser que es monomorfismo

Buenas! Estuve intentando hacer el ejercicio 3 de este parcial pero no se cómo continuarlo.
El ejercicio dice: Sean tales que y . Probar que y
son proyectores:

Como entonces entonces . Además es proyector por ser la identidad. Luego
Ademas por ser proyector: .
Pensé en intentar probar que si una no es proyector entonces la otra tampoco puede ser.. pero la verdad que no tengo ni idea.. Si a alguien se le ocurre algo.. gracias!

Una pista

Claro, si: entonces y como sabemos que entonces o sea, y
o sea, si entonces lo mismo al reves.. verdad? gracias!

Creo que lo que decís con las dimensiones está bien pero lo otro no se deduce solo de las dimensiones y ademas no era lo que queria decir

Este es mi intento de resolucion para el de los proyectores.
Quiero ver que es un proyector usando la propiedad que para todo x perteneciente a la imagen de .
Como
Ahora, sea una base de , quiero ver dos cosas, una es que la intersección de los nucleos es 0, osea que estan en suma directa y forman una base de y la otra es que si un elemento pertenece al nucleo B, ese elemento por A vuelve a dar el mismo(También para nucleo de A con B), y usando eso ver que A y B son proyectores.
Propongamos que y , entonces tenemos que:
, osea que para todo elemento v del nucleo de A,
Lo mismo para el nucleo de B es decir


Ahora tomemos

Tenemos que
Osea que el unico elemento de la intersección es el vector 0, y ademas (aca usamos el rango de A y B), la suma de los Nucleos de A y B también es n.
Por lo tanto concluimos:

Osea que todo elemento del nucleo de A pertenece a la imagen de B (sino se anularia en B) y todo elemento del nucleo de B pertenece a la imagen de A, veamos usando la proposicion del principio que y .

De vuelta, sea
Ahora, como la suma conmuta luego a es un proyector. Usando el mismo argumento con v en la imagen de A sale que B es proyector.

Una duda del 5) del mismo parcial, dice:
Problema 5: Sea . Probar que es un proyector si y solo si es idempotente (es decir, es inversa de si misma).

Esto es lo que intente hacer, ida, supongamos que A es proyector e intentemos probar que es inversa de si misma.
como A es un proyector AA = A, entonces

No me sale la vuelta, osea llego a esto:
Supongamos que vale (2A-I) es inversa de si misma, entonces tenemos que:
restando I tenemos , osea que A es la matriz 0, la cual proyecta para cualquier vector o A = I.

Pero con A en 3x3 con dos 1 en la diagonal y un 0 sigue valiendo que (2A-I)(2A-I) = I pero no es la matriz I, ni la matriz 0.

Edit (A ver si esto funciona para la vuelta): Sea una base de , veamos que si es inversible de si misma entonces es un proyector. Agarremos un cualquiera, entonces
, restando (Id)v tenemos
, ahora tengo 2 casos, uno que A sea la matriz nula. Y el otro es que
o o . Ahora si es el caso 2, estamos evaluando en los v de una base, y algunos vectores van a si mismos y otros al 0. Osea que , y ademas

No vale que si el producto de dos matrices es 0 entonces alguna de las dos es 0 (es lo que usaste para concluir que A es 0 o la identidad).
Pero tenes que , pasando A para el otro lado y dividiendo por 4, se obtiene que es lo que querias probar