Dice

a) Sea nilpotente. Probar que
b) Sea tal que Probar que si son los autovalores no nulos de A y todos distintos, y sus multiplicidades. Probar que


a) Puesto que A es nimpotente, existe p natural tal que A a la p es 0. Pero además, A tiene una forma de jordan con 0 en la diagonal, digamos
Entonces existe una matriz C inversible tal que

Usando que tr(AB)=tr(BA) y agrupando conveinentemente:


listo

b) Yo digo que esto es equivalente a probar que si A admite algun autovalor, este debe ser 0. Pues procediendo por el absurdo, pido que para algún índice k sea distinto de cero. Luego es un autovalor no nulo de A de orden De allí la contradicció se sigue de inmediato.

Entonces... sea tal que existe un no nulo tal que

Tenemos entonces que : por hipótesis.

Además, A es semejante a una matriz de Jordan, digamos Con lo cual hay una matriz C inversible tal que


En consecuencia

Pero también

¿que pasa con esto? me suena raro que no tuve que usar que todas las potencias tienen traza nula, alcanza con A al cuadrado... Help!

a)

b)

No se si está claro, pero cualquier cosa avisá. Saludos.
PD: no vi que que habías escrito más. Perdón ALE.