1. Sea y sean , sucesiones de números naturales tales que . Calcular y .

2. Sea con la siguiente propiedad: para todo finito y no vacío, es cerrado.
(a) Probar que todos los puntos de son aislados.
(b) ¿Es necesariamente cierto que es cerrado?

3. (a) Sea una función no constante tal que la imagen de es un conjunto finito. ¿Es verdad que entonces no es una función continua?
(b) Sea una función continua tal que para todo , la integral existe y vale . Probar que es una función constante.

4. Sea una función de variación acotada tal que es Lipschitz. Demostrar que es Lipschitz.

5. Sea una sucesión de números reales (no necesariamente positiva) tal que y sea la sucesión definida por . Probar que converge si y sólo si converge.

Para el 3:



Para el 4



Para el 5

en el 3 a) decis que existe la sucesión f(yn), pero como sabes que toma infinitos valores?
fijate que no estas usando que no es constante (de hecho, si fuera constante f(yn) toma solo un valor)
en el 5 en un momento estás asociando una suma que en principio no sabes si converge

Para el (1):

Bye

:

2. Sea con la siguiente propiedad: para todo finito y no vacío, es cerrado.
(a) Probar que todos los puntos de son aislados.
(b) ¿Es necesariamente cierto que es cerrado?

Lo de arriba creo que falla, porque en principio la sucesión no tiene porque tener todos sus términos distintos

Podés tomarte la sucesión con términos distintos...