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2. Sea en . Como , hay una sucesión con valores que converge a . Como es un entorno de , esta sucesión está a partir de algún momento en y, entonces, está a partir de algún momento en . Su límite está entonces en . Vemos así que está contenido en , y entonces . La inclusión de en es inmediata.
1. Si la serie converge, su término general va a cero, así que el cuadrado de su término general va a cero. Esta sucesión de cuadrados es una subsucesión de , así que . Por otro lado, la sucesión de los cuadrados tiene términos positivos, así que obviamente . Esto prueba una dirección; veamos ahora la otra. Construyo inductivamente una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos. Pongo . Supongo ahora que y que ya construí . Como , existe tal que , de manera que ; pongo , y sigo la construcción. De esta forma obtuve una subsucesión de la sucesión de partida tal que la serie está acotada, en módulo y término a término, por . Esto implica que aquella serie converge.
3a. Supongamos que no es cerrado y sea . La función es continua en pero no es acotada. En efecto, si es una sucesión en que converge a , entonces si .
3b. Si es compacto, sabemos del teorema de Weierstrass que toda función real continua es acotada sobre , así que no hay nada que probar. Supongamos recíprocamente que tiene esa propiedad. Por la parte (a) de este ejercicio, sabemos que es cerrado. Por otro lado, la función es continua en , así que por hipótesis es acotada: esto significa que el conjunto es acotado. El teorema de Heine-Borel, entonces, nos permite concluir que es compacto.
4. Sea . Como en , existe tal que para todo y , es decir, las funciones , con , que son continuas en todo , están acotadas sobre por . Como es denso, esto implica que, de hecho, esas funciones están acotadas por en todo . Vemos así que la sucesión es uniformemente de Cauchy en todo . En particular, existe una función continua tal que en . Es claro que y tienen la misma restricción a , que es denso en su dominio: esto implica que y prueba lo que queríamos.
5. Supongamos primero que tiene un número finito de puntos de discontinuidad, y sea un conjunto que contiene esos puntos de discontinuidad y tal que con . Entonces la función es constante en cada uno de los intervalos de la forma con y y, como , es claro que es finita.
Recíprocamente, supongamos que tiene infinitos puntos de discontinuidad. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que tiene, de hecho, infinitos puntos de discontinuidad a izquierda interiores al intervalo (si no, haríamos todo lo que sigue con puntos de discontinuidad a derecha y nada cambiaría) Sea un número natural, y el mínimo de los valores absoluto de las diferencias de los (finitos!) valores que toma , que es un número positivo. Como tiene infinitos puntos de discontinuidad a izquierda interiores al intervalo , sabemos que existen puntos de discontinuidad a izquierda de y tales que . Como son puntos de discontinuidad a izquierda, para cada existe tal que . Tenemos una partición del intervalo y es . Esto muestra que la variación de en no es acotada.
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