Se me ocurrió pensar en sucesiones, pero no saqué ninguna conclusión al respecto. Decir que existe una sucesión que tiende al supremo de A y una que tiende al ínfimo de A y ve que pasa con la resta de las sucesiones. Pero no logro darme cuenta como salto de ahí a que es el mismo límite que que supremo de los x-y.
Muchas gracias desde ya

para todo por ser cota superior de
para todo por ser cota inferior de
Ahora combinando estas dos desigualdades se tiene que para todo
entonces es cota superior del conjunto
Ahora es fácil probar que si un número es cota superior de un conjunto y para todo existe un tal que entonces es el supremo, ya que es una cota superior y si hubiera una más chica,digamos se tiene que si entonces
existe tal que contradiciendo que sea cota superior.
(Para el ínfimo vale algo similar). Sea . Queremos ver que existen tales que
con eso alcanzaría para ver que el supremo de por lo expuesto anteriormente.
Pero fijate por el mismo argumento para este que nos tomamos existe tal que

combinas estas dos cosas y te queda justamente lo que queríamos probar. Perdón por escribir tanto, pero creo que así se entiende bien.

Hay una manera muy facil de resolver este ejercicio si te acord[as de ciertos ejercicios de la practica:

usando esos ejercicios (que ahora no me acuerdo pero deben andar por el 7 u 8 del tp 1):

la trampa o la contra acá es que tenés que acordarte de los ejercicios....