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Para probar A) usas por un lado, que la distancia a la clausura es menor que la distancia a C, pues si un elemento esta en C, estan el clausura, entonces cuando veas las distancias, y calcules el infimo, el infimo en un conjunto "mas grande" es menor que el infimo en el otro(siempre que uno este incluido en el otro)
Dps tomas un punto en C clausura, calculas la distancia de x a C clausura, y tomas la clausura de la bola centrada en x, con radio la distancia que obtuviste, la intersecas con C clausura( es compacto pues es interesecion de compacto y cerrado) y ahi adentro va a estar el infimo ( por razones obvias). Dps como es un la distancia de un punto a un compacto, la distancia se realiza, por lo cual existe Y tal que bla bla bla.
Dps, como y esta en C clausura, existe una sucesion de puntos () incluida en C,que tiende a Y, dps tomas limite de - Y, eso tiende a la distancia a C clausura, y los son todos elementos de C, luego la distancia de C clausura a x es el infimo de la distancia de x a C (notar que usamos una de las definiciones de infimo que dice que M es infimo sii M es cota superior, y existe una sucecion de puntos de C que tiende a M)
B) la idea es trivial, usando el item A
Para la vuelta usas que la d(x,B)= o sii x pertence a la clausura de B. Entonces tomas x perteneciente a A clausura => d(x,A) = 0 = d(x,B) => x pertence a B clausura, analogamente, probras la otra contencion.
Esta un poco bastante desprolijo, espero que se entienda
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pero no entiendo nada de distancia
