http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_d ... -StieltjesFijate en la parte de integradores discontinuos, capaz que te sirve
La idea es mirar funciones que que peguen saltos como la función parte entera. Esta función es discontinua a izquierda en los enteros, pero continua a derecha en todos lados. Si tomo esa función como mi integrador, y a una función que sea continua a izquierda en los enteros, me asegura que exista la integral de RS y además en las partes donde parte entera es constante no me va a "aportar" nada a la integral, mientras que cada salto me va a "aportar" en el salto por la longitud del salto, que en el caso de la función parte entera es . En general esto se puede usar para funciones del estilo de la parte entera, lo que tenés que asegurarte es que en todo punto, al menos una de las dos sea continua a derecha y al menos una de las dos continua a izquierda (eventualmente podría ser que alfa sea discontinua en los dos lados pero sea continua en el punto, eso también funciona). Podés leer la demostración en cualquier libro, yo en particular lo leí en el Analisis Matemático de Apostol, igual sale fácil la demostración, solo hay que escribir con cuidado cada cosa.
Fijate que lo que intuiste al principio estaba bien, es mentira que si cambiás un punto de alfa la integral siga siendo la misma.