7. Sea S ⊂ R^n un conjunto arbitrario y sea f : S → R^m una función tal que la imagen de f es un conjunto acotado y el gráfico de f es un conjunto cerrado.

Demostrar que f es continua.

19. Sea K ⊂ R^n un compacto y f : K → K una función que verifica que la desigualdad ||f(x) −f(x')|| < ||x − x'|| vale para todo x, x' ∈ K (en particular, f es Lipschitz con M = 1).

Demostrar que f tiene un punto fijo.

[Sug.: considere la función g : K → R definida como g(x) = ||x − f (x)||.]

El primero intenté hacerlo por sucesiones pero no me salió. En el segundo no se me ocurre cómo usar la sugerencia... Ayuda por favor!!!

A mi algo que me sirvió para el 7 es mirar la definición de límite de otra manera. Fijate si x no es el limite de una sucesión, entonces existe una subsucesión tal que ninguna subsubsucesión converge a x. Si usás el contrarecíproco (que es equivalente) te queda: Si para toda subsucesión, existe una subsubsucesión que converge a x, entonces el límite de la sucesión es x.
Esa definición, más la unicidad de límite, y la definición de continuidad, y sabiendo que un punto en el gráfico de f tiene la pinta (x,f(x)) me sirvieron bastante.

El otro te lo debo por ahora, después lo pienso mejor