Hallar todos los subconjuntos propios de R que son a la vez abiertos y cerrados


¿¿¿¿????¿¿¿???

YO propongo el vacío. ¿Cómo hago para probarlo? O sea.. que es abierto y cerrado es fgacil... pero como veo que es el ñúnico que hay?

una pista

Que ingenioso!

Muchas gracias..!!!

PEro a ver... me quedé pensando

La lógica es, tomo un elemento del supuesto conjunto X que quiero caractrerizar. Como llego a un absurdo, dicho conjunto es el vacío?

Ah claro, porque tomando un elemento de X se llega a una contradicción, luego no se puedne tomar elementos de X, o sea X es el vacío. Es asi nocierto?

Saludos !!

Sin tanta vuelta, si tomás un elemento de la frontera y llegás a un absurdo, entonces la frontera es vacía. Luego tenés que probar qué conjuntos tienen frontera vacía en .

A ver si esta idea sirve

Tomamos un conjunto que sea a cerrado y abierto. Supongamos que es distinto del vacío y también es distinto de . Su complemento, , va a ser abierto, cerrado y distinto del vacío y de .
Supongamos que ( de no hacer así renombramos y llamamos a , y a lo llamamos )
Consideramos bolas de radio variable con centro en el .
Consideremos el conjunto de los radios de tales bolas que están plenamente contenidas en . Como es abierto sabemos que existe un que cumple lo pedido, por lo tanto el conjunto es no vacío. Como por hipótesis es no vacío, existe un elemento de , digamos .
Cualquier bola de radio mayor a va a intersecar entonces este conjunto esta acotado superiormente, como es no vacío tiene supremo, llamemosle
Tenemos dos casos, que el supremo pertenzca al conjunto o que no pertenezca
1) Acá sabemos que tanto como están en .
Como es abierto, existen bolas centradas en y (de radios y respectivamente
que están contenidas en .
Pero esto implicaría que la bola centrada en de radio estaría contenida en , lo que contradice la elección de como supremo. Luego esto es absurdo
2) no está en Entonces al menos uno de los números o pertenece a , sin perder generalidad suponemos . Como es abierto sabemos que existe una bola centrada en contenida en , es decir hay puntos a la izquierda de que están en , que claramente contradice nuestra elección del supremo

Por lo tanto concluimos que debe ser el vacío o
Espero que se entienda y no sea demasiado rebuscado

Dejo otra demostración.

Sea abierto y cerrado.
Supongamos y .

A está acotado superior o inferiormente (pues si no ).

Supongamos que está acotado superiormente.
Como tiene supremo.
Sea . Por definición, existe tal que . Como es cerrado, .

Ahora, como es abierto, existe tal que .
, por lo tanto .
Pero .
Absurdo.

Luego ó

(Si está acotado inferiormente, es análogo usando el ínfimo.)

Ups... No había pensado en eso