Bueno.. si alguien cursó con de Napoli entenderá por qué tengo esta duda... la demostración de la cadena de implicaciones está diseminada a lo largo del cuatrimestre... bueno, ,mi pregnta es esta. Lo que se pide para que se cumpla que

rot(F)=0 => existe un potencial

es que sea simplemente conexo o que sea arco conexo? porque en la carpeta no lo probamos directamente, sinoq ue lo probamos por medio de probar ods cosas, una para la que se pide arco conexo y otra para la que se pide simplemente conexo...
en el courant hay una demostración que pide simplemente conexo pero me pareció imposible de entender, me gustaría "ver" para qué se pide eso en la demostración que hicimos en clase, si alguno me peude explicar :)

(la demostración que hicimos en clase lo que hace es demostrar primero que si el rotor es cero la integral no depende de la curva sino de los extremos, y después que ésto último implica que existe un potencial. perdón que noe scriba en tex pero me muero de sueño jeje)

Hay un post en el que está la demostración de que si la integral no depende del camino, entonces existe un potencial, y usamos que era arco conexo. Ahora, para la integral no depende del camino, la demostración que hicimos no está bien, porque le impusimos muchas condiciones a las curvas. Sin embargo, podés probarlo directamente pidiendo que el conjunto sea arco conexo. Una demostración sencilla está en el Apostol, tomo II de Cálculo(no el que se llama Análisis Matemático)

mmm....
Sea dada por . Entonces f tiene rotor 0, pero no es el gradiente de nadie porque la integral en un circulo centrado en 0 de radio 1 es .
Ahí tenes un contraejemplo para ver que es necesario que sea simplemente conexo.
(Si el ejemplo no anda seguro que hay uno muy parecido)

hmm.. creo que entendí. Digamos que necesito que el dominio del campo "no tenga agujeros"? despues de hacer la demostración ayer yo entendí lo siguiente, a ver si es correcto.
Cuando quiero demostrar que si rot(F)=0 la integral no depende del camino, uso el teorema de Green o el de Stokes, depende si estoy en el plano o en el espacio. En el plano enteindo que el que sea simplemente conexo me garantiza que una curva cerrada va a ser el borde de una superficie contenida en . Pero en el espacio no lo veo tan claro... porque si tenes un punto en el que el campo no está definido, podés tomar otra superficie que no contenga ese punto. Ahora, si tenes toda una recta, no podés (me acuerdo que dieron un ejemplo así en una práctica). EL caso del punto es que no sea simplemente conexo y el de la recta que no sea arco conexo? entonces basta con pedir arco conexo? creo que me mareé un poco, jeje.

gracias :)

Nosotros probamos la integral no depende del camino pidiendo que sea simplemente conexo. Luego, probamos que si la integral no depende del camino y el dominio es arco conexo, que existe un potencial. Para no meterte con simplemente conexo, decía que pusieras arco conexo de entrada.

Me parece que se hicieron una ensalada de definiciones:

1)Simplemente conexo: Es que no tenga agujeros, si es un subconjunto acotado del plano es equivalente a que su complemento sea conexo

2)Conexo: Que no se puede escribir como union disjunta de 2 subconjuntos abiertos no vacios. Intuitivamente es que es un solo pedazo.

3)Arcoconexo: Es un poco mas que conexo, un conjunto es arcoconexo si para cualquier par de puntos hay una curva que los una.

La definicion 1) implica la 3) y la 3) la 2).

El teorema que dice rotor 0 entonces las integrales no dependen de la curva tiene como hipotesis que el conjunto sea simplemente conexo por lo que dice bel, uno quiere usar stokes entonces necesita que toda curva sea el borde de una superficie. Esto no se arregla pasando al espacio, porque si en el ejemplo que puse yo uno piensa que tiene 3 variables pero una no aparece entonces la funcion no esta definida en el eje z.

En cambio para el teorema que dice que si la integral no depende de la curva entonces es un campo gradiente no se necesitan tantas hipotesis si no que solamente que el dominio sea arcoconexo.

Espero que quede mas claro, cualquier cosa pregunten.

muchisimo mas claro, gracias quimey!

Perdón por la confusión Bel, y gracias Quimey por la aclaración. No tengo muchas palabras para remediar el desastre que hice de conceptos(y la demostración que cité usa que es simplemente conexo. Y la cité hoy, porque me había surgido una duda. Así que sin palabras...)

no te preocupes exe, tu demostración estaba muy buena, la entendí muchísimo, y la paremtrización que tomaste de la recta me pareció mucho más apropiada que la de de napoli... te lo iba a postear ahí mismo pero me colgué, así que te lo digo por acá! :) gracias!