Hola, tengo una duda de una demostración que encontré en el Tromba sobre las equivalencias de campos conservativos (página 495, sección 8.3).

En un momento pretenden demostrar que:

(Sea F un campo vectorial definido en excepto, quizá, en un número finito de puntos)

a) Para dos curvas simples orientadas y cualesquiera que tengan los mismos puntos finales,

implica

b) es el gradiente de alguna función (y si tiene un punto excepcional donde no está definido, tampoco está definido ahí).


Lo que hacen es lo siguiente:

Sea cualquier curva simple orientada que une al origen con , y supongamos que está representada por la parametrización c (afirman que si el origen es un punto excepcional de , pueden escoger un punto de inicio de diferente sin que se afecte la argumentación).

Definen como . Por a), es independiente de .

Escogen como la recta que une el origen con , luego este con y finalmente este con . (*)

Queda que , donde .

Por el TFC, se deduce que . Análogamente, tomando otra curva, se deducen las dos restantes, y así, que .

Bueno, mi pregunta es sobre (*). ¿Cómo pueden estar seguros de que se puede tomar esa curva? F puede no estar definida en algún punto, no solo en el origen. Entiendo que la integral no depende de la curva y los puntos excepcionales son finitos, por lo cual podrían esquivarlos, pero la demo no se preocupa por eso. ¿Qué significa que estoy integrando a F sobre una curva, si sobre algunos puntos no está definida? ¿Nada, porque sólo depende del inicial y el final? ¿Habría que arreglar la demostración?

Muchas gracias!