Mi intento de solución para el 3:
Como bien dijeron, , entonces, invocando los conocimientos de Análisis 1, afirmo que y(t)>=0 cuando t>=0.
(Ejercicio para el lector: chequar que y=0 es solución )
Separo en dos casos: ,
1) :
Busquemos una solución de la ED en t>=0, donde la derivada de y es positiva, pero busquemos una distinta a y=0.
Tenemos:
Integrando a ambos lados, queda:
Llamo .
hago e elevado a cada término, queda:
Ahora bien,
.
Esto no se cumple para ningún k, entonces cuando \alpha \eq 1, no puedo encontrar una solución definida en la recta positiva, distinta de y=0.
En la recta negativa, pasa algo parecido: la ED queda como .
Análogamente (ejercicio
), llegamos a:
, que tampoco tiene solución para ningún k, con la condición inicial pedida.
Entonces, la única solución es y=0. Otra forma de hacerlo, es ver que en , tanto en la recta positiva como en la negativa, la función F(t,y)=y es la función más buena del mundo y, particularmente, es Lipschitz en la segunda variable para todo intervalo. Entonces, puedo aplicar el teorema de
2)
En la recta positiva, llegamos a:
Integrando, como , queda:
Con k=0, se cumple la condición inicial.
Ahora bien, en la recta negativa (ejercicio) queda .
Si lo que me piden es una solución global distinta al 0, me falta ver que la solución en la recta positiva y la negativa se "pegan" bien. (Ejercicio fácil, es ver que coinciden en t=0 y también sus derivadas).
Entonces, con , me encontré una solución distinta a la trivial.
Tengo algún error? Alguien quiere decirme si hay un camino más fácil? Hace falta realmente ver que se pegan la solución de la recta negativa y la positiva?
No entendí muy bien si querían una solución global distinta a la trivial.....sospecho que sí, porque una función definida en el intervalo también sería una solución distinta, sino.
