1-Sea una superficie suave y sea una función continua.
Sea una parametrización regular de . Sea una reparametrización de
Probar que da lo mismo si se usa la parametrización o la parametrización


2-a)-Enunciar y demostrar el teorema de Green
2-b)- Sea
Sea la curva
Calcular (donde está recorrida en sentido antihorario)
Se puede utilizar el teorema de Green en este caso?
3- Se tiene el siguiente sistema





Hallar todos los puntos de equilibrio y esbozar el diagrama de fases alrededor de esos puntos


disclaimer: Los datos de los problemas pueden diferir de la vida real, si me equivoqué en alguno, avisen

En el 2B)

¿Está bien reescribir la función como:

P= -y/4 +1
Q= (x-1)/4 +y

Y ahora sí aplicar green porque P y Q son C1 sobre todo la superficie que limita C?
...
Lo que da a fin de cuentas integrar la función cero sobre la superficie...

no, está mal, sobre toda la región no vale que
, y no podés usar green por que el campo no es continuo. Lo que tenés que hacer es calcular directo la integral , y ahí si, usas que en el borde

Sí, eso me llamó la atención al principio.
Pero, lo que digo es:
Defino una nueva función:

P'= -y/4 +1
Q'= (x-1)/4 +y

La integral de (P,Q) sobre la curva es IGUAL a la integral de (P',Q') sobre la curva, porque en esos puntos las funciones son iguales!

Y usando green es fácil calcular la integral de (P',Q') sobre la curva.

¿Te dio cero calculando directamente la integral curvilínea?

la integral curvilinea no da cero. no podes usar green porque tenes una singularidad en la region entonces no es C1 en todos los puntos. para resolver el ejercicio tenes que parametrizar la curva con "polares corridas" como por ejemplo (2 cos t + 1, 2 sen t) y hacer la integral a manopla. el campo que te dan esta con el proposito que verifiques las hipotesis del teorema antes de tirarte de una a usarlo.

Ok, pero entonces.
¿Por qué está mal el siguiente argumento?:

Definiendo (P',Q') como dice mi post anterior.
La integral de (P,Q) sobre la curva es IGUAL a la integral de (P',Q') sobre la curva, porque en esos puntos las funciones son iguales.

Y además (P',Q') satisface las hipótesis necesarias para aplicar Green en la superficie encerradas. (Ahora sí es un campo C1)

me parece que esta bien lo que decis (en parte creo) , acabo de hacer las cuentas y la integral curvilinea me dio haciendola a manopla como te dije antes, y como decis vos definiendo un nuevo campo F como lo propusiste y aplicando green me dio lo mismo. ahora yo no me jugaria a hacerlo asi en un final, primero porque no estas asegurando que de el mismo resultado, en principio el campo ni siquiera vale lo mismo en la region encerrada y me parece que metiendote a probar que la integral da lo mismo usando un campo o el otro es mas dificultoso que agarrar y hacer la integral con polares y listo te queda todo lindo y facil de calcular sin tener que justificar mucho mas las cuentas. por otro lado, el resultado es el mismo pero sinceramente no se si es por casualidad o porque en realidad da lo mismo y cierra todo bien. disculpa si estoy hablando ganzadas y espero haberte ayudado, saludos!

Ahí entendí lo que dijiste, está buena la idea.

Alguien sabe como resolver el ultimo punto. Segun como lo hice yo, en uno de los puntos de equilibrio tengo un autovalor doble (5), y al tratar de calcular el autovector asociado me queda la matriz nula. Qué se hace en estos casos?

Están calculando los autovectores de DF(0,0) ?
A mi me queda que DF(0,0) =5*I entonces los autovectores son el (1,0) y el (0,1).
Es eso lo que preguntaban?

Me dieron dos puntos de equilibrio, uno en (0,0) otro en (5,5)
En el de (0,0) la matriz DF da un autovalor doble 5, y ya esta diagonalizada (osea las soluciones de x e y estan desacopladas, x no depende de y, e y no depende x), los autovectores quedan (1,0) y (0,1). El diagrama de fase las soluciones son rectas
En DF(5,5) me dan dos autovalores: 5 y -5. Autovectores: (1,-1), (1,1).


PD: alguno sabe a q hora y aula es mañana el final?

Me dio igual que a vos.

PD: 10 am, aula 4

Jeje. Venía a decir que lo había resuelto y me dio lo mismo. No me dí cuenta que en el (0,0) el sistema linealizado está desacoplado y me trabé ahí.
Queda



Y el esquema de fases sale haciendo



Osea que son rectas

Con respecto al punto 2. ii) la respuesta es que sí se puede aplicar Green. Solo nos mostraron Green para regiones simple-conexas pero se puede extender el teorema cuando la F no está definida en una serie de finitos puntos dentro de la región. (Teo Campos Conservativos) La justificación es que si uno encierra a la singularidad, el (1,0) con una pequeña curva, se obtiene una nueva región D. D sería la región encerrada entre la curva grande que nos dan y la curva que uno se inventa. Como el rotor (en R2) de F es 0 entonces F es conservativa (sólo tenía una sola singularidad) y su integral de línea es independiente del camino.

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/ ... 1_comb.pdf

https://www.youtube.com/watch?v=PnPIqh7Frlw

http://www.matematicaaplicada2.es/data/ ... 162278.pdf