buenas....tengo una duda acerca del teorema de stokes...a ver si me pueden ayudar..

Imaginemosnos q la superficie sobre la q integrar mi campo es un cilindro q no esta tapado ni por "arriba" ni por "abajo"...la duda es: al aplicar stokes y calcular la integral del borde de la superficie tengo q tomar uno de los bordes o los dos y sumar las integrales de cada borde??? y en caso de q haya q tomar los dos bordes, tienen q tener la misma orientacion???

graciaaass

Tenes que tomar los dos, no se bien con que orientacion, pero seguro es la que hace que tu superficie quede a la izquierda de una persona caminando por la curva con la cabeza apuntando hacia la normal.

La profesora de la práctica me dijo que en ese caso tapas la superficie por un lado, por ejemplo en el cilindro tapas con un disco la parte de arriba y tomas como borde el que te queda libre..

La idea es la siguiente; vos sabés que el Teorema de Stokes no es aplicable en un principio para superficies no simples(por ejemplo, en la cinta de Moebius no anda Stokes), pero en algunas, como el cilindro podés. Procedés así:(perdón; no tengo un dibujo, que seguro ayudaría).
Tomás al cilindro, y lo separás en dos mitades, por medio de un corte, de manera que las dos superficies que te queden sean ''simétricas''. Sean respectivamente cada una. Podés pensar que cada una viene de aplicar sobre una región rectangular dada, separa en dos partes, pero que tengan un lado en común. O sea, un rectángulo separado en dos partes, pero pegadas. Sea respectivamente. Luego orientas cada rectángulo por separado en el sentido positivo; vas a notar que en el lado en común, cada rectángulo tiene distinto sentido, y que en el lado inferior de ambos rectángulos(como en el lado superior), coincide la orientación en sentido Luego, tomás una parametrización de respectivamente, y calculás la imagen de ; vas a obtener como curvas fronteras el contorno de cada pedazo de cilindro , notando que en el borde inferior y en el superior difieren en sentido(me refiero a los bordes circulares). Sean tales curvas respectivamente. Luego, podés aplicar Stokes en cada superficie por separado, teniendo:

Ahora, notá que la elección que diste en el borde de los rectángulos, induce la misma orientación de la normal en las superficies , con lo que podés juntar:
.
Finalmente, notá que la orientación que inducís en hacé que tengás, separando las integrales respectiva de linea, cuatro integrales que se te anulan(porque recorrés los segmentos de división en dos sentidos distintos), y podés juntar los pedazos de circunferencia respectivos, porque tienen el mismo sentido. Luego, terminás teniendo solo que considerar las circunferencias inferior y superior como curva frontera:


Perdón si confundo más; un dibujo seguro que ayudaría mucho. Veo qué puedo hacer al respecto... espero haber aclarado(no empeorado la situación). Saludos.

El requerimiento para que ande el teorema de Stokes es que la superficie sea compacta y orientable, compacta es cerrada y acotada y orientable es que uno puede elegir un vector normal de forma continua(o diferenciable), en la cinta de Möbius no se puede encontrar esta normal porque si uno pone cualquiera cuando da toda la vuelta le queda apuntando para el otro lado. Igual esta bien aplicar Stokes de una sin considerar lo que dijo exequiel pero de esa forma es mas clara cual es la orientacion que hay que poner