Hola todos! Les dejo el enunciado de este ejercicio (en un intento de LaTeX) a ver si alguno me da una mano, porque no veo por dónde va la demostración. Estoy por rendir el final en estos días y me parece que este ejercicio es importante.
Beso!

Dada la ecuación no homogénea y' + a(x)y = b(x) donde a,b son funciones de R en R continuas con período p>0 y b distinto de cero, pruebe que una solución de esta ecuación verifica:

Te dejo una idea (o eso creo, jaja, igual quizás ya lo habías pensado)

si mal no recuerdo, eso sale usando el Teorema de unicidad. Fijate plantear qué quiere decir que y tienen período p, y por ejemplo para la vuelta, hacerte una nueva función que sea, no sé, . Si podés ver que es solución (o sea, la metés adentro de la ecuación diferencial y te fijas que la cumple), por unicidad tiene que ser la misma (porque por hipótesis tienen el mismo dato inicial), entonces . La ida, o estoy muy dormida, o es inmediata (evaluás en x=0)

bueno, espero haber ayudado. y sino seguro alguien que te ayude más habrá :p
besos