Tengo una duda con un ejercicio. El enunciado lo saqué del Apostol, pero en la práctica está enunciado de una manera parecida.

Sean dos conjuntos de números positivos acotados superiormente, y sea .

Sea el conjunto de todos los productos de la forma con y .

Probar que

Lo que me hace dudar es que el conjunto no tiene porqué estar acotado superiormente. No pretendo una resolución, sino que me digan que me estoy pasando por alto.

Gracias de antemano.

Lo que pienso yo es que dado , yo me puedo armar otro elemento de mayor que ese producto. Basta que elija un número muy cercano a cero. No se donde estoy pifiando

Intentá escribir con detalle lo que estás diciendo. Te vas a dar cuenta de donde está el error, y si no te das cuenta ponelo acá y te digo

Claaro, el error está en que multiplicar por un número muy chico no es lo mismo que dividir por uno muy chico, sino todo lo contrario, es dividir por uno muy grande... es increible que uno no pueda ver algo tan boludo hasta que lo trata de escribir ^^

Gracias.

Intenté resolverlo, medio agarrado de los pelos, pero ahí va.

Primero quiero probar que es cota superior de . Supongo que no lo es, entonces para algún y algún . Ahora, , pues . Entonces implica , pues

Ahora quiero ver que es la menor de las cotas superiores.

Sea cota superior de . Quiero ver que . Sea (se que es positivo pues y son conjuntos positivos). tal que pues y tal que pues

Entonces . Entonces lo que implica