Mi consulta de hoy apunta a qué diferencias grandes hay entre la aritmética de enteros y la de polinomios. Digo, muchas de las propiedades de la congruencia módulo n son aplicables tanto a los enteros como a los polinomios. Hasta es posible hacerse un cuadrito/diccionario indicando los términos que uno tendría que cambiar en la teoría aplicable a enteros para que esta se transforme en la teoría que se aplica a los polinomios.

Ahora bien, ¿qué cosas de las que valían en enteros no valen para polinomios? ¿Vale también que si y ? ¿Vale el Teorema Chino del Resto? ¿Tiene sentido pensar en una aplicación a los polinomios del Pequeño Teorema de Fermat?

Gracias.

Probablemente Quimey y yossarian(o Gustav Mahler si aparece) pueden responder mejor que yo a esta pregunta, pero si, muchas de las propiedades que valen para enteros valen para polinomios. El T.Chino sigue valiendo, bajo algunos ligeros cambios de enunciados( hay una versión del teorema). La segunda que decís, es sigue valiendo. Mirá qué cosas usás para demostrarla, y fijate que todas valen para polinomios. Finalmente, la Fermat, no se si hay una versión o algo así, pero no puede ser algo como el de enteros, al menos directamente, pues en el teorema hacés ... y en los polinomios estarías elevando un polinomio a otro polinomio... para esta última pregunta espero con voz alguna respuesta.

Vale exactamente el mismo teorema, lo unico que hay que saber es por quien cambiar al p-1. Y lo que hay que hacer es contar la cantidad de polinomios que tengan inverso modulo g (g un polinomio), si esto es un numero finito, sirve como exponentem, ie,

Gracias a ambos por responder. Más allá de la curiosidad, mi pregunta apuntaba también a saber si hay alguna especie de "pitfall" con el que me puedo encontrar, tratando a los polinomios como si fueran enteros. Es decir, dentro del dominio de problemas que aparecen en la materia Álgebra I, ¿hay algún caso en el que no pueda tratar a los polinomios como enteros en lo que respecta principalmente a ecuaciones de congruencia/divisibilidad?

En realidad, la gran mayoría de las propiedades y los teoremas que viste en álgebra I se demuestran en un contexto más general en álgebra II. Las propiedades únicamente dependen de lo siguiente:

a) Tenés suma, resta y multiplicación, y son asociativas, distributivas, con neutro, etc.

b) entonces o (fijate que por ejemplo las matrices no cumplen con eso, así que no es ninguna boludez...)

c) A cada número le corresponde el conjunto de sus múltiplos, que es cerrado por sumas y productos externos (es decir, si a es multiplo de 5 y b también, y c es cualquier número entero, también es mútiplo de 5). La gracia es que vale al revés: cualquier conjunto cerrado por sumas y por productos externos ES el conjunto de múltiplios de algún número. Eso se demuestra usando que tenés el algoritmo de división. Otra vez, por ejemplo, en matrices no vale el algoritmo de división, y sin embargo vale que cualquier conjunto como el de arriba es el de "múltiplos de alguien"... ¿demostración?

El teorema Chino del resto es todavía más general. Para demostrarlo basta que la multiplicación sea conmutativa, aunque hay que profundizar en el significado de que dos cosas sean "coprimas". En la aritmética de polinomios y enteros, casi todo lo que vez en álgebra I vale igual. Fermat es más delicado, como dice Quimey, básicamente porque no tenés la idea de elevar a un polinomio a la otro polinomio y que siga siendo un polinomio.

Muchas gracias a todos por responder