Hola. Que tal?
Me encontre con una duda grande(para mi) sobre combinatoria, si alguien puede despejarmela un poco sería de gran ayuda.

Supongamos que tenemos un tablero de 4 filas y 3 columnas. Quiero saber las formas de ubicar 3 bolitas indistinguibles con la condicion de que no puede haber mas de una bolita por fila ni por columna.

Voy a reperesentar todos los casos que encontré(creo que no hay mas) usando 0 para los lugares vacios y 1 para los lugares ocupados por las bolitas.

Todas las combinaciones donde en la 1era columna esta ocupada la 1era fila:



Todas las combinaciones donde en la 1era columna esta ocupada la 2da fila:



Todas las combinaciones donde en la 1era columna esta ocupada la 3era fila:



Todas las combinaciones donde en la 1era columna esta ocupada la 4ta fila:



Luego se ve que hay 24 casos diferentes. Pero este sería un caso pequeño y que se puede hacer a mano.
Hay dos formas que vi de resolver esto pero ninguna me coincidio con el resultado buscado . Así que estoy mas que perdido.

-Primera forma:
Primero elijo tres filas para ubicar las bolitas de las cuatro filas disponibles y luego elijo 3 columnas para ubicar las bolitas de las tres columnas disponibles.
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-Segunda forma:
Primero tengo disponibles para elegir 12 asientos para ubicar la 1era bolita, luego retiro los asientos que estan en la misma columna y fila donde se ubico la misma. Despues quiero ubicar la 2da bolita y tengo disponible 12 asientos menos los que retiré anteriormente osea 6 asientos; luego retiro los asientos que estan en la misma fila y columna donde ubique la 2da bolita. Finalmente para ubicar la 3era bolita tengo disponible 6 menos los que retiré para ubicar la 2da bolita osea 2 asientos. Y la expersion me quedaria asi:
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Realmente no se que hice mal, porque las 2 formas de resolverlo me habian convencido pero al remangarme y comparar con lo que calcule a mano me dá diferente. Espero que no haya sido una equivocacion demasiado tonta.
Gracias de antemano.

En la primera forma te falta considerar que las columnas las tenes que elegir ordenadas, es decir: te falta multiplicar por 3!=6.

En la segunda estas repitiendo casos porque las bolitas son indistinguibles, te falta dividir por 3!=6.

No tengo mucho tiempo ahora, pero:

1) Fijate el primer y el tercer caso de la primera linea en tus dibujos, los estas contando como iguales pero son distintos (Filas={1,2,3} Columnas={1,2,3}).
2) Fijate que si elegis (1,1), (2,2) y (3,3) podes elegirlos en 6 maneras posibles pero siempre te da el mismo caso.

ya está multiplicado por 7! y por 12!. Vos decís una vez más?

es posible que esté mal y que tengas razón. La verdad es que combinatoria no es mi fuerte.