(Teorema de Landau)
Dado , probar que de existir tales que:

se tiene que son finitos(o sea, el conjunto es finito o vacío)

Estoy pensando un problema más general(a partir de una idea de Quimey). Cuando consiga algún resultado parcial(y esté seguro de que se puede hacer en álgebra I) lo posteo.

Saludos

Una parte más, señalada por Juanma:
todo número puede ser escrito como suma de exactamente fracciones distintas, de la forma

Quien es n?

un número natural arbitrario

Hay que demostrar que existe tal n o para cualquier n?

Para cualquier ... aunque hay una falla en la idea, con lo que... no se si es válido... seguro que para potencias de algún primo es válido(creo...)

Hola.

Basta observar el caso para y .

Saludos.

El caso no se puede, porque , luego . Como . De manera análoga . Si y ambos son naturales no queda otra que . Si quisiste decir , es probable que no te baste, si después hiciste inducción en la cantidad . Pero si encontraste una manera indicada, comentala.

Hola.

Justamente. "No se puede". Bien lo dijiste.

Una forma más sencilla de verlo es la siguiente: si

Saludos.

Hola.

Por cierto, ¿para el primero valen las demostraciones como la siguiente?



El otro después veré para qué casos es válido e intentaré mostrar alguna demostración (si es que puedo).

Saludos.

Hola.

Para el otro problema: (Hay cosas de más que, después de resuelto, me di cuenta que estaban al dope. Pero las dejo para ilustrar cómo fue el razonamiento.)



Saludos.

Edito: Si yo no me equivoco, cuando es primo, esta descomposición es única en este sentido.

No, en realidad no está demostrado con saber esa descomposción. Eso es lo primero que dijimos, pero fijate qué pasa con , para cada .

Hola.

No veo exactamente cuál es el problema. Se tiene que:






Etcétera.

Saludos.

hmm... si, me parece que si. Dejame chequear qué problema había. De cualquier manera, la descomposición es más natural, recordando que muchas veces se presenta:

Yo propongo lo siguiente:
Decidir si es verdadero o falso que para todo y distintos de forma que . Si es cierto dar una demostración, si es falso describir los k'es y los n'es que hacen esto posible.

Ese está bastante bueno. Sin embargo... hmm... no se, diverge pero no... y lo hace a un número relativamente chico(más grande que 1). Como primera idea, tiraría que no... pero ahora parcial de avanzado.

Habría elementos no estándar porque el conjunto es infinito. Sin embargo, amén de eso, podemos entender "no estándar" como "infinitamente grande" (para los naturales). En cuyo caso, la demostración sería algo parecido a:
"Si el conjunto solución fuera infinito, entonces habría elementos infinitamente grandes (en esto estamos de acuerdo). Pero en una (¿cómo se llama esto?) que es solución, no lo pueden ser todos infinitamente grandes, porque la suma de los inversos sería infinitamente pequeña cuando debería valer . Entonces los habrá unos infinitamente grandes y los habrá otros que no. Si suponemos que los elementos son los grandes y los otros, entonces tendríamos que:

Y lo de la izquierda sería infinitamente pequeño, pero lo de la derecha, no (recordemos que los eran positivos). Absurdo."

el conjunto de pares estándar es infinito... ¿o me equivoco? Igual, creo que estás demostrando que el conjunto de los es finito, lo cual está dado de entrada. Nevermind.

Hola.

Estoy diciendo que dado un fijo, la cantidad de pares que satisfacen es, a lo sumo, finita. Pero el y, por tanto, los y el están fijos (todo positivo).

Saludos.

Edito: El conjunto de los pares estándar es una clase propia (o conjunto externo). Pues los conjuntos infinitos siempre tienen elementos no estándar.

Te estás complicando demasiado... es un ejercicio de álgebra I, y sale por inducción derecho.

Hola.

La demostración que propuse no es "más avanzada", sino alternativa. La teoría no estándar se podría ver a la par de la estándar sin problema alguno. Por otro lado, mi complicación fue mínima, la demostración ya la había leído en el libro análisis no estándar de Carlos Ivorra. Quería saber si eran bienvenidas o no este tipo de cosas.

Saludos.

La resolución que expusiste no me parece trivial para una persona que no maneja análisis no estándar. Lo de darlo a la par de la estándar, tampoco se si tiene mucho sentido, sin un curso introductivo previo de lógica. Eso quería aclarar.
Una última cosa... afirmar que "una complicación es mínima" en una sección de álgebra donde no se tiene(en general) madurez matemática, y no se conocen(en general) los axiomas de la teoría de ZF con el axioma de elección y se usa una teoría que se entiende(de manera mejor) bajo el conocimiento de la teoría mencionada... me parece de más, sinceramente.
Saludos.