1º Toda sucesión acotada contiene una subsucesión convergente

2º Sea K compacto, entonces de toda sucesión de puntos de K, se puede extraer una subsucesión que converge a un punto de K.

se lo agradecería enormemente, quizas sean iguales las propocisiones pero bueno no las entiendo, saludos!!!.

Ok, acá va la respuesta. Igual, estaría bueno que lo veas en un libro, por ejemplo el de Noriega. Hay que acostumbrarse a leer los libros!!

Eso ya lo demostramos en alguna parte de la teórica,me acuerdo haberlo visto; lo que seria interesante que alguien postee como demostrar porq no tengo idea y en la teórica NO SE DIO(por lo menos en la mia no,y les pregunte a un par de la de Becker y tampoco me supieron decir) es:

Demostrar que un conjunto compacto alcanza sus máximos y mínimos.

Vos decis que una funcion continua que sale de un compacto alcanza maximo y minimo?
En ese caso tomas (podria ser ) Ahora por propiedades del supremos podes tomar una sucesion tal que pero como podes encontrar
Por lo que demostraron antes hay una subsucesion convergente como f es continua (hasta ahora no lo habiamos usado)
Por la unicidad del limite y porque el limite de una subsucesion de una sucesion convergente es el mismo deducis dos cosas:
1.
2.
Que era lo que queriamos demostrar

Gente mil gracias. Varias cosas:
1º El teorema que dice:
Demostrar que una función continua en un conjunto compacto alcanza sus máximos y mínimos.
ese lo demostraron en la clase de Becker, pero en una parte del teorema usaron ese teorema que te dije hace un rato.

2º El tema es que actualmente el único libro que tengo es el tromba y no lo mostraba busque en google pero no encontré. (Sí, lo sé siempre que se busca se encuentra pero bueno...) me sentí un poco ofendido por que yo frecuento bastante lso libros .

Otra cosa a mí, me gusta que encaje todo. Entonces, ¿es difícil demostrar el teorema de encaje de intervalos? o me estoy metiendo en un teorema que requiere otro teorema y así sucesivamente.
Muchas gracias.
Saludos!!!.

Pd: Ya sé que no entra en el final pero me gustaría saberlo para entender justamente el teorema que dije en el item 1º.

El teorema del encaje de intervalos se demuestra usando la completitud de los reales, es decir, el axioma del supremo (de hecho es equivalente, también se puede usar para demostrarlo):

Dado un conjunto , si tiene una cota superior, entonces existe el supermo de

Uhh buenísimo ahroa mismolo llevo ala práctica gracias, saludos!!.

Quimey....el supremo podría ser +infinito????

medio raro eso; yo diria q puede ser tan grande como se quiera en el caso

Si no sabes que la funcion es continua (o que el intervalo es cerrado) el supremo puede ser infinito por ejemplo