Pregunta para alguien que tenga fresca la demo del teorema:

la demostración sugiere mostrar

1) es biyectiva y su inversa continua

2) , abiertos, tales que , es diferenciable.

La pregunta es para el ítem 2) cuando defino con abierto.

La cosa es probar que es abierto argumentando que es continua, esa parte no me queda del todo clara.

Bueno, es una pregunta un poco molesta, pero la dejo planteada tal vez alguien se copa y la responde xD

Vale en general que si es abierto y continua entonces es abierto. La demostración es bastante fácil usando la definición de continuidad con y

Escribo lo que pensé, porque nunca vi esa demostración.

Quiero ver que si

Es decir, busco un punto de y pruebo que está en .

Elijo

Ahora tomo y defino

Como es continua, entonces siempre que , es decir, siempre que . Y como esta distancia es tan chica como yo quiera, puedo elegir un .

Pero entonces

Eso probaría la inclusión y por lo tanto que es un conjunto abierto.