Hola. Resulta que estoy estudiando para el final, pero tengo varios teoremas demostrados medioasinomas... (y no es que no lo pueda tomar de libros, sino que quiero completar la que me dieron en clases por si las moscas)
Queria saber si esta demostracion estaria bien:

Quiero probar que dado que diferenciable en P, el , o sea, que
Entonces:




Por Cauchy-Schwarz








Ahora,tomando limite,


por el teorema de estriccion, como
y
pues
,
por ser f diferenciable y


resulta que
y por lo tanto f es continua en P

Disculpen el desorden de lo ultimo

Parece estar bien...

No son necesarias las desigualdades, la demostración tiene que ser más sencilla. Sabemos que es diferenciable en el abierto si existe una única transformación lineal que verifica,



Multiplicamos por , que también tiende a cero, con lo que



es una transformación lineal, por lo que tiende a cero cuando tiende a cero. Entonces



es decir



f es continua


.

Yo lo escribiría un toque distinto:

y acá tomar límite y decir lo que dijiste vos(la es la transformación lineal de la definición)
Perdón por ser molesto
Saludos