Hola! Me gustaria ver si me podian dar una mano con esto; dice:

Sea un polinomio de grado . Probar que si divide a entonces existen tales que

Muchas gracias!

Una idea sería(considero de grado ):

Perdón que omití ese ''paso inductivo''; notá, sin embargo que sería una inducción para finitos casos, porque a partir de la derivada -ésima, tendrías un polinomio constante, y claramente no valdría que fuera raíz. Después coloco este paso que falta; pido disculpas.
Espero que te haya ayudado. Saludos.

Edit: arreglé algo, respecto a un paso turbio en la demostración.

Planteá lo siguiente(ahora veo que lo que te dije que hicieras no iba a salir tan fácil como esto); tenés , luego, sabés que es de multiplicidad doble, con lo que es raíz de . De nuevo, suponé que las raíces sean todas simples, para llegar al mismo absurdo con . De acá que tenés al menos una raíz es de multiplicidad doble. Sea . Así, de manera inductiva, probás que para cada , hay al menos una raíz doble. Para cuando llegués a , te va a quedar un que forzosamente va a tener multiplicidad (es que es de grado 1). En este punto, debería verse fácil que todos los que tomaste son iguales. Fijate si ahora sale. Perdón por el error.

Siii joya! Se entendio perfecto! Te das cuenta bastante facil que es de multiplicidad n con eso!

Muchisimas gracias!!!

Hola! alguien me podría decir si esta resolución está bien?? porque me parece demasiado simple.. no sé si algo estará mal:

Bueno, espero a que me contesten pronto porque el final es mañana y necesito saber si está bien!!

Gracias!!!

Ah!! entre Christian y Juosja me explicaron cómo era!!

Ahora entiendo, sí, estaba mal, yo parto de que cuando quiero saber si en realidad puedo escribir a de esa forma.

Duda aclarada, gracias!!

No se dan una idea lo que me costó este problema!! a ver si ahora está bien la resolución!!

Espero que se haya entendido y que esté bien!!! Espero una respuesta!!!!!!!

Gracias!!!

EDITADO: agregué por qué , igual tampoco pretendan mucho, ya no doy más, necesito dormir y el final es mañana

Pongo mi resolucion no inductiva:


Que buen ejercicio, que alguien lo pase al wiki!

Si no se entiende pregunten

Una consulta.... me dan un polinomio de grado 15 con coeficientes complejos y me dan una raiz compleja... entonces derivo el polinomio y resulta que tambien es raiz del polinomio derivado. Entonces por lo demostrado en este ejercicio digo que es la unica raiz del polinomio? con multiplicidad 15?

La duda me surge de que en el enunciado no dice que multiplicidad tiene en el polinomio derivado. Ni tampoco dice que es raiz de f deridava n veces...

Gracias de antemano.

Este ejercicio dice más: dice que si es una raíz de entonces es una raíz de , vale decir, que . Fijate que es más débil el caso que decís, porque sólo pedís que esa raíz de sea raíz de (o sea, que resulte múltiple) y que y compartan una raíz compleja, vale decir, no quiere decir que .