Bueno aca va el "finalcito" que nos tomaron hace 3 dias:

1- Sea A un conjunto y R una relación en AxA.

a) Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa (en caso de ser verdadera demostrarla y sino, dar un contraejemplo):

"Si R es simétrica, transitiva y además satisface que para todo elemento existe un elemento
tal que aRb, entonces R es de equivalencia"

b) En cada uno de los siguientes dos casos, dar un ejemplo de un conjunto A y una relación R que sea:

.Reflexiva,antisimétrica y transitiva.
.Reflexiva,antisimétrica y no transitiva.

2- Sea y M={tiras de 0 y 1 de longitud n}. Si se eligen al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que coincidan en exatamente k lugares? (para k entre 0 y n)

3- Sea un polinomio.

a)Sea primo y que verifica: . Probar que existe q en Z[x] tal que con

b)Si f es de grado 2 y mónico y es primo, probar que existen a lo sumo dos números
, tales que y

c) Construir un polinomio de grado 2 que tenga al menos 3 raíces distintas módulo 6 (con lo cual el resultado probado en el inciso anterior vale sólo cuando el módulo es primo).

4- Hallar y dibujar los conjuntos:

S={}
T={}

(O sea )

5-Para cada valor de ,hallar

Alguien tiraría una punta sobre como hacer el ej 3?

Muchas gracias

Para el 3.a)



Para el b) ni idea

Gracias por la respuesta, yo tenía pensado algo así para el a), el que me da mas problemas es el b). Lo que se me ocurrio hacer es analizar el polinomio f en Zp, que es un anillo conmutativo si no me equivoco, entonces el polinomio, por ser de grado 2, va a tener a lo sumo 2 raices en Zp, y encararlo por ese lado, pero la verdad que no se si la idea esta bien,y menos como escribirla.

Porai es cualquiera no...pero....
Digamos que . Entonces .
Como p es primo, entonces . Fijemos el primer caso. .
Pero sabemos que i < p. Entonces i = .
De la misma manera, sacamos el otro caso. Entonces si , entonces es cierto que o .
Análogamente encontramos que si f(j) es equivalente a 0 módulo p, entonces o .
Entonces sabemos que ambos son o el resto de dividir a a por p, o el resto de dividir a b por p. Y sabemos (por hipótesis) que f(i) es congruente a 0 Y f(j) es congruente a 0. Entonces, si no son iguales, uno es el resto de dividir a a por p, y el otro es el resto de dividir a b por p. Ahora, puede ser que a = b (o a = qb) y tenemos un polinomio con una raiz doble, entonces i = j y hay uno solo. Pero al máximo, va a haber 2.

EDIT: Puede llegar a ser cualquiera esto eh. Me tengo que poner a practicar divisibilidad :s

che! en qué influye que en el 3)a p sea un primo??

Uhhh, no lo leí, perdón

Para el 3-b) (gracias a )



3-c)



Ahh! y para la parte no influye en nada que sea primo ^^

5)

1.a) Decidir si la siguiente afirmación es verdadera o falsa (en caso de ser verdadera demostrarla y sino, dar un contraejemplo):

"Si es simétrica, transitiva y además satisface que para todo elemento existe un elemento tal que , entonces es de equivalencia"



b) En cada uno de los siguientes dos casos, dar un ejemplo de un conjunto y una relación que sea:

Reflexiva,antisimétrica y transitiva.
Reflexiva,antisimétrica y no transitiva

La preguntonta del post es: para el 3.a) no se debería probar que un polinomio se puede "factorizar". O sea, no te piden probar el teorema del resto para polinomios???
Un saludo

Casi... el Teorema del Resto de polinomios se aplica si el polinomio está en , con cuerpo. EL problema te pide que consideres al polinomio en ( no es un cuerpo).
Lo que hay que decir (no hace falta probarlo, se lo pregunté a un profesor antes de rendir), es que como el polinomio por el cual estás dividiendo es mónico (), entoncés sí podés dividir en aunque no sea un cuerpo.
Hay que notar también que, como el grado de es , el resto es o tiene grado y que módulo , es congruente a .

Del 2 puedo decir que no tengo la mas minima idea de lo que pide :s

( 2 )

No tengo la menor idea si está bien, si alguno se copa en verlo sería bueno! Ahí va...

Antes que nada voy a definir lo que entiendo por "tira", por ejemplo, una tira de ceros y unos con n=3 es: { 01, 10, 11, 00 }

M es un conjunto de tiras de nros, todas de loonguitud 'n'. Quiere decir que en total tengo tiras de números.
De ese conjunto debo sacar dos tiras, saco la primera sin drama. Y ahora cuento la cantidad de tiras que coinciden con esa; entonces yo ya sé que tienen que coincidir en k lugares, esto es

Tenemos entonces , la bardié?

Una tira con n=5 puede ser 01001........no entendí bien tu idea de tira....

mmm, creo que tu idea esta bien, pero pifias un poco.
Te falta considerar la cant. de formas de elegir los k lugares donde coinciden.

Cuando pones n=3 queres decir n=2?