Yo lo haría así:

Hola. Que tal?
Intente hacer el ejercicio 3) pero me trabe en una parte. En algo metí la pata mal, si alguien detecta el error seria un golazo. Gracias de antemano.
Primero separé en dos modulos coprimos entre si:



Luego tome cada congruencia por separado para operar con ellas:

*
como 11 es primo y no divide a 3 puedo usar el teorema de Fermat
Por otro lado puedo representar todos los numeros enteros con n=10q + r con r . Esto me sirve para achicar la complejidad del ejercicio.

Luego busco que valores de r cumple con esto:
Voy a armar la tabla modulo 11 entonces:

por lo visto los valores que cumplen con lo buscado son r=2 y r=7.
Por lo tanto los valores de n que me sirven son:
n=10q + 2
n=10q + 7

*
como 17 es primo y no divide a 3 puedo usar el teorema de Fermat
Por otro lado puedo representar todos los numeros enteros con n=16q + r con r . Esto me sirve para achicar la complejidad del ejercicio.

Luego busco que valores de r cumple con esto:
Voy a armar la tabla modulo 17 entonces:

por lo visto el valor que cumplen con lo buscado es r=6
Por lo tanto los valores de n que me sirven son:
n=16q + 6

Luego por lo visto me quedan dos sistemas de congruencias que cumplen con lo pedido:

A) Luego reemplazo n en la otra congruencia...

(dividi todo por 2)
Luego reemplazo q en n = 10q + 2 entonces n = 40k + 22

HASTA ACA TODO BIEN PERO... ACA VINO MI DOLOR DE CABEZA

B) Luego reemplazo n en la otra congruencia...

Acá se uso que (5:16)=1
Pero despues no encontre la forma de despejar q.
Si alguien me puede orientar en que me equivoque le agradeceria mucho.

duda: en el 1)b) cuando tienen a| c + b <=> dq | dk + b => d | dk + b
no entiendo porque eliminan la q

Hola que tal? Creo que una forma mas sencilla de resolver el ejercicio 5) a)
es usando el Criterio de Gauss:


Si es raíz de f(x), donde y y (p:q)=1 entonces p|1 y q|1. Luego = -1, 1.
Veo cuales de estos valores es raiz de f(x):
f(-1)
f(1)

Luego f(x) no tiene raíces en y por lo tanto f(x) es irreducible en .

Esta bien esto? Si hay algun error por favor avisar.

Hola de nuevo.
Ahora me puse a hacer el 5)b) pero me trabé mal:

Se puede ver que las raíces de f(x) son las raíces primitivas de .
Ya que se sabe de que si tomo una raíz primitiva de , la llamo w, y la elevo entre 0 y (n-1), puedo generar todos las raíces de .
Por lo dicho anteriormente .
Por otro lado sea , si quiero que g(x)=0 se tiene que dar que osea que .

Acá empieza mis dudas:

- Si n=5q, con y w es una raiz de primitiva de entonces

- En otro caso esta w elevada a un menor que 5 es distinta de 1. Luego pienso que para con ocurre lo mismo pero no sé bien como justificarlo.... :\

Si hay algo mal, de lo que está hecho, y si alguien sabe como justificar lo que me falta, se lo agradecería mucho.

Saludos.

Observá que en el 5(a) uno probó que es irreducible. Luego es un polinomio mónico que divide a , con lo que o bien es o es .
Si entonces y como dijiste, resultaría . Supongamos entonces que es raíz de y de . Entonces por un lado, (pues es raíz de f) y (por ser raíz de ). Entonces que es, por un ejercicio de la práctica, y como es primo, ó . Usando además que se deduce que si no es divisible por entonces .

Muchas gracias. Quedo muy claro todo.

Saludos.