Ejercicio 3) Pruebe que en cualquier colección de siete números enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible por 11.
Ejercicio 4) Sean z_1,z_2 y z_3 tres números complejos de módulo 1, tales que z_1 + z_2 + z_3 = 0. Pruebe que 1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 = 0.

Para el 4 pensé: 1/z_1 es el inverso de z_1, como z_1 tiene módulo 1, el inverso queda igual que el conjugado, como la suma de los "directos" da igual que la de los inversos, debe ser porque el conjugado es igual al "no conjugado", es decir que son números reales, pero no sé, no me convence, me parece que falta algo o que no tiene nada que ver con esto.

Acerca del 3: ¿por qué una colección de 7 números enteros? ¿son 7 enteros distintos, consecutivos, o no? Sólo me puse a probar ejemplos de conjuntos de 7 enteros positivos (para reducir un poco el problema) y ver congruencias módulo 11, y observo que cada vez que encuentro un par que es congruente uno a 5 y el otro a 6 entonces la suma es divisible por 11, y así. Pero no sé me ocurrió cómo probar lo que pide el enunciado.

Por favor, ¡ayuda!

La idea para el 4) es la que vos decis, intenta trabajar un poco con las propiedades de la conjugacion.

Para el 3) fijate que podes armarte pares de restos, {1, 10}, {2, 9}, ... y que si tenes dos numeros cuyos restos caen en el mismo par entoces su suma o diferencia es congruente con 0. Tratá de escribir bien esta idea y te digo si está bien.

Gracias por responder, los vuelvo a pensar a la luz de estos comentarios y veo qué sale.

Sobre el ejercicio 3:
Podemos partir los enteros en clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo 11. A su vez existen 5 pares de clases distintas tomados de esas clases tal que dado un par, si elegimos un elemento de una y lo sumamos o restamos con un elemento de la otra obtenemos un miembro de la clase cuyo representante es el 0. Es decir que la suma o resta va a ser divisible por 11.
En términos de clases de equivalencia módulo 11: 0 = 1 +- 10 = 2+-9 = 3+-8 = 4+- 7 = 5+-6
También 0 +- 0 = 0.
Cualquier entero que elijamos va a caer en alguna (sólo en una) de las 11 clases módulo 11.

Me falta explicar cómo es que en cualquiera de los subconjuntos de 7 elementos que podemos formar con miembros de las 11 clases vamos a encontrar al menos uno de los 5 pares (a,b) tales que a +- b congruente a 0 módulo 11.

Sobre el ej. 4:

Como el módulo de z_i = 1, al cuadrado tambien y con i en {1,2,3}.
Luego la suma de los inversos de z_i va a ser igual a la suma de los conjugados de z_i.
Por otro lado podemos decir que
Entonces, tenemos un número complejo que pertenece a los reales, por lo tanto su conjugado, , también debe ser 0, lo que queríamos demostrar.