Qué tal, me darían una mano con estos ejercicios que no me salieron? Soy nulo en latex, vale aclarar de antemano. Gracias

1)
Sea un polinomio tal que al evaluarlo en cualquier número entero , resulta siempre un múltiplo de o un múltiplo de (ambos son primos). Probar entonces que o bien es siempre divisible por para todos los valores de , o bien es divisible por para todos los valores de .

No se me ocurre ni cómo empezarlo.

2)
Dados y primos distintos, probar que es un polinomio mónico cuyas raíces son . Primero te dice que si y entonces .

Veo que en están las raíces pq-ésimas y que el denominador te saca las que no son primitivas, pero no entiendo bien de dónde sale el del numerador dado que tampoco es primitiva.

3)
Sea y una raíz de multiplicidad exactamente 3 de . Probar que el resto de dividir por es de la forma donde es una constante no nula

Intenté escribir a f como y derivar, pero de ahí no logro sacar nada.

4)
Probar que si tres números en no nulos suman 1 y sus inversos también suman 1, entonces al menos uno de los tres es 1, (Sug: determinar cómo puede ser un polinomio mónico de grado 3 que tenga a los tres números por raíces)

Esto es lo que hice:


Saludos.

el unico qe me parece sale es el 3 xqe lo vi escrito por aca creo










y bue por el algoritmo de division ahi tenes el resto ya no ? 3q(x-a)^2



el 4to si evaluas en P(1) = 0 entonces es raiz


en el 2 me parece qe esta ese x-1 xqe las primitivas no esta incluido el 1 como raiz , y entonces arriba aparece una vez en pq y abajo dos veces una p y una por q , entonces para qe se cancelen y queden solo las primitivas de pq . Ahora en cuanto a como se resuelve el ejercicio . No lo entiende quien es n ? pq = n ? o n es alguien aparte

Algunas pistas:
1) Suponete que f(n) no es divisible por 101, entonces es divisible por 107, fijate que pasa con f(n + 107 k) para k entero.
2) El denominador te "saca el 1 dos veces" por eso lo agregas al numerador una vez.
3) Escribí y fijate que 1 es raíz doble de r.
4) Fijate que en realidad el polinomio es de la forma para un valor apropiado de u. De aca sale que 1 es raíz.