Hola quisiera si me pueden ayudar con estos ejercicios, ya que mañana rindo.

1.a)Determinar un polinomio mónico cuyas raíces sean exactamente las raíces primitivas de
b) Hallar todos los tales que


La consigna a) lo hice justificando todo, llegue que el polinimo es
Para la parte b) para que se cumpla que tengo que pedir que entonces
si llamamos a debe pasar que reemplase en pero no llegue a nada.
Asi que no se que hacer.

2. Sea un primo positivo y

a)Probar que es congruente a modulo para todo
b)Probar que no tiene raíces racionales

Lo que hice yo es:

Primer caso

entonces pero llegamos que esta bien
Segundo caso



y como es primo P.T.F
Pero por el corolario sabemos que
aplicando el corolario nos queda

pero como multiplico por el inverso de
esto vale solamente para
Esta bien lo que hice no me siento seguro ya que había que probarlo para todo
Y en la parte b) no se que hacer no tengo idea

3.a)Probar para todo vale que

b)Probar que para todo , es divisible por y no es divisible por

La consigna a) lo probé por inducción no era muy difícil.
Y la parte b) quise implementar lo que había probado en a pero no se como, si alguien me da una mano como uso esa información

4. Se define una relación R siguiente en
R y
a)Probar que es una relación de orden
b)Calcular la cantidad de elementos que satisfacen simultáneamente:
R y R

La parte a) sale rápido, en lo que me trabe es la parte b) alguna sugerencia.

5. Para cada ,
a)Calcular el producto de todas las raíces n-ésimas primitivas de 1
b)Calcular el producto de todas las raíces n-ésimas de 1

Este verdaderamente no se que hacer.
Bueno el que deje sus sugerencias o ayudas les estaré muy agradecido.
Nos vemos

Veamos (capaz mando fruta)

Ejercicio 2b)
Te fijaste de usar el Criterio de Eisestein ?

Ejercicio 4 , punto b )
para los n , tenemos estos datos
1) y 2)
Por 1) tenemos que es igual a con k en los enteros
Por 2) tenemos que ese k no puede ser cualquier cosa , si tratas de poner un 3 por ejemplo 2*3 no divide a 2^10 , solo podes tener potencias de 2
Si a y b son enteros y , entonces b tiene al menos los mismos primos de a , elevado a las potencias de a (o mayores).
En el spoiler te dejo la respuesta para n


Despues edito y agrego algo para el ejercicio 1

2)a) Te conviene usar la otra versión de Fermat ( para todo ).
2)b) Si tuviera una raíz racional tendría que ser entera (criterio de Gauss) pero si tuviera una raíz entera entonces (por 2)a) ) y esto es absurdo.

Gracias Quimey y a Luis ya que con su ayuda salio el 2 y el 4b) despues lo subo para que vean pero ya entendí lo que me quieran decir.
Quería si me podes dar una idea del 1 pero la parte b) no se como hacerlo por favor.
y sobre el 4 b) que es el producto de la raices n-ésimas de 1, a mi me dio osea si es par me da y si es impar .
Pero no se como hacer el 4a) osea el producto de las raices n-ésimas primitivas de .

Mi intento para el ejercicio 1 (incompleto)

Voy a empezar escribiendo todas las raices de











En este caso las primitivas son y

Ahora , supongamos que tengo un tal que cuando evaluó el polinomio en o , me quede
, eso se haria como queremos
Ahora , no me doy cuenta como hallar esos n , creo que hay que plantear ecuaciones de congruencia pero no me doy cuenta cuales. Quimey , alguna idea ?

Sugerencia para el 1:
Queremos probar que , y no sabemos cómo, pero qué pasa si calculamos ?
Respuesta: (hay que hacer la cuenta, no es inmediato, pero sale), como (¿por qué?) tiene que valer .