1.Probar que no existen que satisfacen la relacion

Lo que intente fue tomar y probar los casos que si y o si y o si y o si y .
Pero no me convence mucho alguna pista para seguir avanzando.

2. Sea una raiz primitiva de la unidad de orden 10. calcular



lo que plante fue aquí fui reducir los exponentes y hacer distributiva y llegue

Ahi me trabe alguna ayuda para terminar

3. a) Hallar todos los para los cuales el polinomio

tiene raices complejas multiples
b)Para cada hallado,factorizar f en y en

Aca lo que plante fue derivar f y ver cuando se hace 0




o

este no puede ser raiz de f

Reemplazando en f

llego o

Despues quise reemplazar los valores hallados en y factorizar pero no llegue a nada haber si medan alguna pista

4. Sean que satisfacen el resto de dividir a por es y el resto de dividir a por es .
Calcular y expresarlo como conbinación lineal entera de y en función de los cocientes de dividir a por y de dividir a por

Aquí verdaderamente intente plantear tablas de resto congruencia pero nada no se me ocurrio nada asi que si me dan unas pistas les agradezco.

Desde ya muchas gracias espero alguna sugerencia

Para el 1):
x e y son racionales asi que NO TIENE NINGUN SENTIDO plantear congruencias o divisibilidad. Ademas si fueran enteros seria trivial porque cuadrados perfectos menores o iguales a 3 hay solo 2.
La idea es que plantees con enteros, limpies los denominadores y hagas alguna congruencia.
Por ahi ayuda demostrarlo por absurdo + tomar b y d minimos.

Para el 4):
El enunciado te dice exactamente lo que tenes que hacer: planteas , y haces cuentas

Oka Quimey, ahí lo voy a plantear gracias por contestar rápido.

Bueno el 1 lo hice así Quimey fíjate si lo justifique bien



Fijate si lo hice bien con justificaciones y mañana subo lo que hice del ejercicio 4.

Nos vemos

A mi me parece que esta bien. Igual un par de comentarios:
1) Cuando supones quien es coprimo con quien lo pusiste al reves.
2) No abuses de la "flechita" (), esta flecha es una implicacion y no es un sinonimo de "entonces". Creo que es mucho mas claro si usas mas palabras y menos simbolos.
3) Las tablas en latex son asi:

Bueno tenes razón lo que decís ahí modifique las flechas que significaban entonces y deje los que implican (gracias por avisar así no justifico mal el final que rindo 23) y los coprimos que puse mal los corregí

Y en rato edito las tablas así queda prolijo la resolución y subo lo que hise del ejercicio 4 que me trabe en algo así me das un pista mas para poder terminarlo.

Nos vemos y gracias.

Sugerencia, cambia

entonces como y entonces como (II)

por

Sabemos que , y , luego se sigue que y como ademas podemos concluir que (II)

o algo similar. Escribir con palabras lo que estas pensando hace que sea mucho mas facil seguir los razonamientos.

Hola Quimey el ejercicio 4 me di cuenta que tenia un error el enunciado (osea lo copie mal yo) ahí lo cambie y en un rato sube lo que pude plantear.

Bueno subo a lo que llegue al ejercicio 4


Esto lo que pude hacer lo hasta hora, sobre la combinación lineal no se como hacerlo si me darías una mano como para terminar este ejercicio.
Nos vemos gracias

Ojo que 35 no es primo : P

Cierto me había olvidado eso, ahí lo arregle jajaja pero igual lo de la combinación lineal no me sale

, se sigue que para algun y por lo tanto .
Ahora

Lo que planteaste puede ser que como y entonces
Pero como concluimos que
Osea que a lo puedo escribir como para algun
la ecuacion la puedo escribir como
para algun
Por ende las ecuaciones que me quedan son
(I)
para algun (II)
Aplicando el algoritmo de división tenemos
Por (II) (III)
De (I) tenemos que
reemplazando en (III)

Distribuyendo llegas a que la C.L es para algun siendo

Haber fíjate si lo hice bien así lo meto en la resolución.
Voy a seguir intentado resolver el 2 y el 3
Gracias por todo Quimey y a Sofia por responder.

Te tiro dos ideas

En el ej 2 , fíjate de separar los términos , de separar los positivos de un lado y los negativos de otro y tratar de llevarlos a dos serie de potencias.
En el ej 3 , una vez que sabes que a es 1 o -1 , probaste reemplazarlo en la ecuacion original y hace la sustitucion u = x^3 (y trabajar con la cuadratica que queda ) ?

Hola el 3 si me salio con el cambio de variable
Me quedan los polinomios


Aplicando el cambio de variable de queda
Las raices de ese pilinomio son las primitivas de{1}
y
Y buscando las reices
(1)
(2)

Resolviendo (1) por TEOREMA DE MOIVRE
con
Resolviendo (2) por TEOREMA DE MOIVRE
con

Obtengo la factorizacion de f en C[x]
con y

Bueno lo mismo procedimiento

Lo que pregunto es como saco la factorización en si me podrían ayudar les agradecería.

El ejercicio 2 no sale por ningún camino(ya hice de todo, siempre me queda alguna potencia de en la solución) si me podrían ayudar les agradezco ya que no me quiero quedar con la duda.

Desde ya muchas gracias

No parece tener raíces múltiples el polinomio que pusiste. Mepa que la respuesta correcta es ...

Me parece que el 2) siempre te va a quedar dependiendo de w, quizás hubo algún error que se corrigió en el momento...

Quimey tenes razón que tonto fui vale o ahi lo intento resolver
Y el 2 entonces si o si depende de de las potencias de .
De nuevo gracias por contestar rápido es que rindo el lunes 23 ojala me vaya bien nos vemos.

Aquí mi intento para el ejercicio 2
Tenemos


Dejo el termino de la izquierda igual y normalizo el lado derecho y el modulo de w es 1



En el lado derecho , dejo el 1 separado y escribo los otros terminos como una serie de potencias

con i siendo igual a
+ 1 (Es la sumatoria desde 0 hasta i , sumando 1 )
Si no estoy metiendo la pata , la sumatoria da

Como 11 , esa sumatoria da 1 (queda lo mismo arriba y abajo)
Entonces a lo llego es a lo siguiente
(un 1 es de la sumatoria , el otro es el modulo de w)

Sobre el de factorizacion en R[X] , los factores irreducibles en los reales son las cuadráticas con raices complejas y los polinomios de grado 1 con raiz real.
Imagínate que tenes r1 y r2 donde r2 es el conjungado de r1 , si haces
, eso te da un polinomio con coeficientes reales y raices complejas.
Hace eso con las raices de tu polinomio , básicamente te tienen que quedar 3 cuadráticas con raíces

No entendí lo de la sumatoria...

Voy de vuelta
Tenemos en el termino de la derecha



Dejo el ultimo termino de lado y busco como expresar los otros terminos como una serie . (En el otro post converti el a un 1 )
Tengo
Hago una tablita de f , para los valores 0 , 1 ,2 ,3

Como los valores de f , coinciden con los exponentes de los , puedo escribir a los w como una sumatoria

Eso está bien, pero no podés aplicar la suma geométrica porque no es una geométrica...

metida de pata mia . Tengo que repasar series

Aquí subo la resolución del 3

Bueno fíjense si esta bien.
Gracias por la ayuda Quimey nos vemos.