Subo los ejercicios del final de hoy, 17/04/09.

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4-

¿No les parece muy raro este final?
No tomaron nada de diferenciabilidad ni nada.

Esto es lo que se me ocurrio que yo hubiese hecho, despues de darle una leida al final (no lo intente hacer). Corrijanme si digo burradas, plis.

1) Hubiese calculado las derivadas parciales de b), y ver que coinciden con a). Integraria a) en la variable respectiva y veria que la funcion que queda es b) (algo habria que justificar).

2) Como D es cerrado y acotado (compacto), por el teorema f alcanza un maximo y minimo absoluto. Yo encararia por ahi la cosa, tendria que ver como seguirla y terminarla :b.

3) Usando algo del teorema del cambio de variables, calculando el jacobiano e integrando la funcion 1, intentaria llegar a que las areas son iguales.

4) Calcularia el polinomio de Taylor como siempre, teniendo cuidado y teniendo en cuenta que alrededor del (0,0), el grad f = grad P, el hessiano es tambien igual, etc.

No me sente a hacer el final, pero supongo que se me hubiese ocurrido ahcer algo como lo que dije antes.

Nadie me dice si concuerda con mis ideas? o si tiene algun enfoque mejor?

Hola. Con respecto a tus propuestas tengo las siguientes observaciones:

1) Cuando integras la primera componente con respecto a obtendrías algo de la forma . De modo tal que en realidad nos podremos desarrollar una ecuación diferencial. Pero este hecho excede al curso de análisis I. Fijate que uno de los datos es que la función es ¿cómo lo usarías?

2) Más allá de ser un conjunto compacto, otro dato importante y que hay que utilizar es que es conexo (en particular, convexo).

Con respecto a los puntos (3) y (4), sin ninguna explicación adicional no hay mucho que decir. Igualmente, en el tercero, por ejemplo ¿qué pasa si dejamos fijo y movemos ? Los intervalos de una longitud se convierten en intervalos de la mismo longitud ¿verdad? Una vez visto que efectivamente es un difeomorfismo, uno podría hacer uno que lo "anule", al menos la parte de . (Quedo acá pues me tengo que ir.)

Saludos.

Pero en el 1), me qeda f(x,y) = xy + g(y) + C , derivo con respecto a y, y me qeda x... o sea, no qeda ninguna ecuacion diferencial.

Y en el 2, si f alcanza un maximo y minimo absoluto, no esta ya? o sea, ahi no queda demostrado que es un intervalo cerrado (y ademas, acotado)?

Hola.

En el 1) yo no digo que esté mal hacerlo de esa forma, señalo que no es lo que corresponde para la materia. Nada más.

En el 2) fíjate en el siguiente ejemplo:

. La imagen no es un intervalo cerrado, sin embargo es y definida en un compacto.

Saludos.

en el 1) podes hacerlo asi sin ecuaciones diferenciales, seria solo integrar funciones de una variable. pero ahi tendrias que justificar que g(y) es cte. y no depende de y, y lo mismo con la funcion que te quede cuando integres la derivada con respecto a y. si justificas eso si se puede hacer asi

El 1) no me termina de cerrar.
alguien puede ayudarme, (orientarme en realidad) a probar q a)
usando que es
también necesito ayuda con el 3)
muchas gracias!!

Después de mucho pensar se me ocurrió algo para el 3) me gustaría que alguien de una miradita y me diga que voy encaminada:

el 3 creo que esta bien. aca pongo el 1 con un poco mas de detalle.

Para el 2, no podria hacer lo siguiente? :

Lo que vos decís Diego solo te prueba que la imagen es cerrada, no que es un intervalo cerrado. Para probar que es cerrado hay que usar que es conexo(sino es falso). De cualquier forma:

Con respecto al otro ejercicio, está multiplicado por el módulo del jacobiano. Igual hay que ver que si el jacobiano es no nulo entonces es localmente biyectiva(con la condición de ), pero eso no quiere decir que sea globalmente biyectiva. Ahora, se observa que:

De acá se deduce luego teniéndose que es inyectiva. Luego es una biyección. Por otro lado es su inversa y no es difícil de ver que es , lo que dice que está en las condiciones del teorema de cambio de variable... y sigue la cuenta que planteó Aye.
PD: recién miré, y debería ser , para que valga el teo de cambio de variable. Si recuerdo bien, se pedía que la aplicación fuera con inversa también ....

Con permiso, acabo de ver esta discusión y me registre para hacer un pequeño comentario:
Con respecto al ejercicio 1, a mí, se me ocurrió otra cosa:

Perdonen mi tex si es menos que rudimentario. Me pareció más sencillo porque no hay que andar integrando ni nada de eso. Qué sé yo.
Saludos,

Osea basicamente zafas por el Corolario de Lagrange. Igual creo que seria mas demostrativo lo que hizo Joaquin.

No objeto tus preferencias pero quisiera hacer una observación con respecto a lo que decís de "zafar". No me parece que el Corolario de Lagrange entre "de carambola" en la resolución del problema. Me parece que depende de cómo lo encares. Por ejemplo, si lo pensás como hicieron los chicos (o lo que creo yo que pensaron) algo de la forma de: me dan esta función y esta diferencial y demuestro que que de al función voy a la diferencial y de la diferencial a la función, voy y vuelvo. Luego, llegás a la resolución que dieron ellos. Como yo lo vi de otro modo llegue a otra solución. Fijate que vos podés pensar el corolario de Lagrange como una herramienta que te da "una solución del homogeneo" a la pregunta de a este gradiente qué funciones le corresponden. Es decir, más que el hecho de que partiendo de tal gradiente en particular se llega a tal función en particular, yo lo pienso como "tengo este gradiente (de hecho, el gradiente que sea, es casi anecdótico) y me tengo que fijar si deriva de estas y sólo estas funciones". Es decir, en tal casos estarías pensando que que te centras en probar que ese tipo en particular son las funciones que te dan ese gradiente y no te podés encontrar con que una función super loca también deriva en ese gradiente. A mi parecer, insisto, resulta natural usar el corolario si lo encaras de eses modo. (Por supuesto, no es que uno modo invalide al otro, de ningún modo)
Tal vez te siga pareciendo arbitrario. En tal caso, no tengo nada que agregar. Sólo quería aclara mi punto de vista.
Saludos,

En realidad yo le pregunte despues de que lo tomo al profesor que hizo el examen y me dijo que la idea era usar lo de lagrange, postie las otras dos formas de hacerlo porque aunque sean mas largas o rebuscadas, la ventaja que tienen es que son procedimientos que sirven aun sin que se te ocurra ninguna funcion con ese gradiente, cosa que suele pasar en ejercicios de campos conservativos de analisis 2 por ejemplo. pero si, para este problema en particular la solucion con lagrange es la mas directa

ps: me refiero a la solucion integrando, la solucion con taylor la desventaja que tiene es que por un lado, tenes que rezar para que se te anulen las derivadas en algun momento, y por otro tenes que pedirle a la funcion que sea analitica, cosa que no tiene porque pasar, la solucion con lagrange y la de integrar le piden menos a la funcion

La idea del 4) es reemplazar f en ?

Es decir, hallar el polinomio de Taylor de: ?

sisi desarrollando el cuadrado y eliminando los terminos de tercer orden para arriba

Me gustaría que alguien me diga si está bien esta demostración del 1:



Quisiera saber:

a) En caso de que esté mal lo que hice: ¿Dónde falla mi demostración?
b) En caso de que esté bien: ¿Porqué no uso que es ?