Sea tal que es derivable, para todo y , Probar que:

A) Existe una sucesión tal que y

B) ¿Existe ?

Agradecería si alguien tiene alguna idea de como hacerlo. Luego posteo otros dos ejercicos más del mismo final

Saludos

Hay una hipótesis inecesaria que es . Revisa si está bien copiado.

Una idea.

Si la derivada cambia de signo en algún momento, entonces ahí habrá un máximo o un mínimo local, por lo que valdrá 0 (esto ya es algo que habrá que probar). Luego, o bien sucederá infinitamente por lo que ya se tendría la sucesión, o bien a partir de un momento la derivada será siempre positiva o siempre negativa, por lo que la función será monótona. Luego, una función continua, monótona y acotada es uniformemente continua (¡también habría que probarlo!), con lo que se deduciría que el límite de la derivada sería 0 (en cuyo caso, toda sucesión tendería a este).

Con respecto al segundo punto. Toma . Más aún, (¿te imaginás cómo lo construí?)

El enunciado no decía , sino derivable. Y yo tambien agradecería mucho si aguien escribiese la resolución. Saludos!

Pero por ejemplo:.
La pregunta es: ¿Cómo sería para este ejemplo?

Tomás cualquier sucesión que tienda a infinito :S

Buenas,

Mirandolo fuerte (como dice un profe) a mi se me ocurrió lo siguiente:

Si es derivable, entonces puedo plantear el Teorema del Valor Medio (TVM para los amigos), entonces:

donde Ahora si tomo limites de ambos lados me queda que:

pero por las propiedades de los limites, en el primer miembro:



Ahora, sabemos por enunciado que Por lo que el primer miembro es = 0. Nos queda que



Pero es una distancia arbitraria finita (llamaemosla R) y si tambien por lo que el crecimiento es igual, y, aunque vaya a infinito, la distancia R se mantiene constante.

Entonces puedo decir que:



POR FAVOR!! Verifiquen si esta bien lo que digo o es una ANIMALADA!

Desde ya, millones de gracias por su tiempo!!

Saludos

Hola.

Hoy hablando con un amigo se nos apareció este ejercicio y recordé el foro (que hace tiempo que no entro), y decidí pasar a dejar la demostración que se me ocurrió de esta proposición, y utilizaré que la función está acotada a partir de cierto punto ( en nuestro caso) y no que posee límite (por lo que se puede cambiar la hipótesis del enunciado si se gusta).



Saludos.