Muchas gracias, ya lo entendí!!
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| [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) http://ubacs.com.ar/ubacs/viewtopic.php?f=37&t=887 |
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| Autor: | daniel_htm [ 25 Feb 2009, 19:21 ] |
| Asunto: | [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Sea una función diferenciable en (0,0) tal que grad(f(0,0)) = (a,b). Sea S = v perteneciente a / ||v|| = 1}. Se define la función de la manera siguiente: g(v) = df/dv(0,0) Hallar Im(g). Justificar. _____________________ Yo pensé lo siguiente: Como f es diferenciable en (0,0) entonces vale df/dv(0,0) = grad f(0,0) . v , con v = (v1,v2) Reemplazo gradiente por (a,b) Luego, df/dv(0,0) = av1 + bv2 ¿Y ahora? |
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| Autor: | Don Equis [ 26 Feb 2009, 05:27 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Restringes el estudio a los vectores de norma unitaria. Para ello puedes utilizar una composición como . Luego, como se tiene que por lo que basta estudiar la imagen de la función , con |
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| Autor: | exequiel131719 [ 26 Feb 2009, 05:33 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Sugerencia: Perdón que haya sido tan desordenado(la hora no ayudó, con lo que puede haber errores). Con esto debería salir el ejercicio, creo. Si no sale, avisá. Saludos PD: ya postearon, pero ya lo escribí, así que lo dejo. Perdón |
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| Autor: | Don Equis [ 26 Feb 2009, 05:46 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Hay una identidad en particular que nos da la respuesta de forma inmediata y seguramente la vio en clase. Es un cámino más rápido. Edito: De hecho, se obtiene que el resultado es que |
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| Autor: | Juosja [ 26 Feb 2009, 10:24 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
| Autor: | daniel_htm [ 26 Feb 2009, 11:02 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Antes que nada, gracias por contestarme y ayudarme. Exe, seguí los pasos que indicaste pero no me termina de quedar claro cuando analizo el caso donde t es distinto de {0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi}. La función arctg solo se anula en cero por lo que si t es distinto de cero no habría puntos críticos no? Después analizo los puntos críticos (0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi) en la composición h(t) y me dan los valores a, b, -a, -b, a, respectivamente. Ejemplo h(0)= acos(0) + bsen(0) = a Ahora, ¿cómo discrepo quién es máximo y quién es mínimo, de manera de poder definir la imagen? Tampoco caso cómo a don equis le da esa imagen... |
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| Autor: | Don Equis [ 26 Feb 2009, 13:51 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Utilizando la expresión uno puede asegurar que de haber máximo y mínimo, la función toma todos los valores intermedios por ser continua (otra posibilidad era demostrar que el círculo de radio unitario es conexo, como se guste). Para hallar el máximo y el mínimo se puede hacer cualquiera de las dos siguientes cosas: 1) Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz: Y mostrar que la igualdad se cumple para algún punto. 2) Utilizar la identidad: Donde es el ángulo que forman los vectores. Saludos. |
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| Autor: | daniel_htm [ 26 Feb 2009, 16:37 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Muchas gracias, ya lo entendí!!
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| Autor: | Ger [ 04 Mar 2009, 07:40 ] |
| Asunto: | Re: [No resuelto]diciembre 2006 ej. 4) |
Hola! Muchas gracias a todos los que responden las dudas! Y en especial a Exequiel, quien parece no vivir para otra cosa q para escribir en este foro y para la wiki. Gracias por tu dedicación. Ahora bien, entendi la resolución de Don Equis, pero me quedaron las mismas dudas que a Daniel con respecto a la de Exequiel. Si alguien tuviese la bondad sufieciente para explicarmelo un poquito más, se lo agradecería mucho. Saludos |
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