Sea una función diferenciable en (0,0) tal que grad(f(0,0)) = (a,b). Sea S = v perteneciente a / ||v|| = 1}. Se define la función de la manera siguiente:

g(v) = df/dv(0,0)

Hallar Im(g). Justificar.
_____________________

Yo pensé lo siguiente:
Como f es diferenciable en (0,0) entonces vale df/dv(0,0) = grad f(0,0) . v , con v = (v1,v2)
Reemplazo gradiente por (a,b)
Luego, df/dv(0,0) = av1 + bv2

¿Y ahora?

Restringes el estudio a los vectores de norma unitaria. Para ello puedes utilizar una composición como . Luego, como se tiene que por lo que basta estudiar la imagen de la función , con

Sugerencia:

Perdón que haya sido tan desordenado(la hora no ayudó, con lo que puede haber errores). Con esto debería salir el ejercicio, creo. Si no sale, avisá. Saludos

PD: ya postearon, pero ya lo escribí, así que lo dejo. Perdón

Hay una identidad en particular que nos da la respuesta de forma inmediata y seguramente la vio en clase. Es un cámino más rápido.

Edito: De hecho, se obtiene que el resultado es que

Antes que nada, gracias por contestarme y ayudarme.

Exe, seguí los pasos que indicaste pero no me termina de quedar claro cuando analizo el caso donde t es distinto de {0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi}. La función arctg solo se anula en cero por lo que si t es distinto de cero no habría puntos críticos no?

Después analizo los puntos críticos (0, pi/2, pi, 3pi/2, 2pi) en la composición h(t) y me dan los valores a, b, -a, -b, a, respectivamente.
Ejemplo h(0)= acos(0) + bsen(0) = a

Ahora, ¿cómo discrepo quién es máximo y quién es mínimo, de manera de poder definir la imagen?
Tampoco caso cómo a don equis le da esa imagen...

Utilizando la expresión uno puede asegurar que de haber máximo y mínimo, la función toma todos los valores intermedios por ser continua (otra posibilidad era demostrar que el círculo de radio unitario es conexo, como se guste).

Para hallar el máximo y el mínimo se puede hacer cualquiera de las dos siguientes cosas:

1) Utilizar la desigualdad de Cauchy-Schwartz:


Y mostrar que la igualdad se cumple para algún punto.

2) Utilizar la identidad:


Donde es el ángulo que forman los vectores.

Saludos.

Muchas gracias, ya lo entendí!!

Hola! Muchas gracias a todos los que responden las dudas! Y en especial a Exequiel, quien parece no vivir para otra cosa q para escribir en este foro y para la wiki. Gracias por tu dedicación. Ahora bien, entendi la resolución de Don Equis, pero me quedaron las mismas dudas que a Daniel con respecto a la de Exequiel. Si alguien tuviese la bondad sufieciente para explicarmelo un poquito más, se lo agradecería mucho. Saludos