1) sea una funcion diferenciable en con .
Hallar los números reales [a,b] tales que la función
definida por

sea diferenciable en

2)
a) Mostrar que la ecuación define una función en un entorno de
b)Hallar el polinomio de Taylor de orden 2 de la función en el punto


3)Dada la función
a) Probar que tiene un mínimo local estricto en , para a y b arbitrarios
b) analizar si (0,0) es un mínimo local de f
Sug: Estudiar f sobre parábolas

4) halar el volumen de

Hola!!
Seria genial si alguien pudiera resolver el ejercicio 1... Nunca vi una funcion partida de ese estilo y la verdad q no me sale.. Creo que este pedido ya lo hicieron en otra oportudnidad.
No pido que este resuelto perfecto, sino, simplemente que alguien de una idea, sobre todo porque nunca se me presento una funcion partida por o algo de ese estilo...

Muchisimas Gracias de antemano!!

En general, sería mejor que nos mostraran dónde tuvieron problemas así se les puede ayudar un poco mejor. Pero veamos un intento:

Primero hallemos las derivadas:

1) si

2) si

3) si

4) si

Tomando el límite al nos quedan:

1)

2)

3)

4)

De acá se deducen las únicas posibilidades con las cuales la función podría llegar a ser diferenciable (). Veamos cómo probar la diferenciabilidad:

Nuestro plano tangente , de existir, será

Por lo que el cociente incremental quedaría:
I) si

II) si

En el I) dividimos y multiplicamos por quedando:

(Pues el término de la izquierda está acotado y el de la derecha se va a 0)

Saludos.

Hola! Muchisimas gracias Don Equis.. Mi problema era que no sabia como encarar una funcion partida de esa manera... y tomando las derivadas parciales fijando e se soluciono todo, no me habia dado cuenta...

Gracias nuevamente, muy clara la explicacion!
Perdon por la tardanza en la respuesta!

Saludos!

Buenas, Quizás mi pregunta sea un poco trivial, pero yo intenté resolverlo planteando las derivadas de g por definición. Pero hay que separar los casos en que x --> 0+ y x -->0-. Mi pregunta es la siguiente:

Don Equis planteó directamente las derivadas parciales, de g no sabemos siquiera si es continua... Es correcto hacer ese análisis directo o hay que hacerlo por definición??

gracias a todos!

Tenes razon, la resolucion de Don Equis es correcta pero supone que f sea diferenciable en todo punto. Lo que vos decis parece bien. Habria que ver como lo escribis.

Me parece que lo que dice Don Equis no esta del todo mal, el prueba correctamente que para los valores dados la funcion es efectivamente diferenciable, habria que ver que en los otros casos no puede serlo.

Pero yo supuse la diferenciabilidad de no para demostrar la diferenciabilidad de , sino para hallar los candidatos de y . La diferenciabilidad de la demostré tan sólo considerando la diferenciabilidad de en el origen.

Vos estas usando que el problema es correcto y que la respuesta no depende de f para justificar tu respuesta, ninguno de esos datos es conocido por vos.
Si yo veo eso en un parcial con mucha suerte le pongo regular.
Puede que el enunciado sea medio vago pero lo que se espera es la cuenta por definicion.

En eso tenes razon, los valores que encontraste sirven, pero no podes saber que sean los unicos, porque el argumento que esta mal te sirve como ayuda para encontrar algun valor pero no para descartar los otros.

Yo lo plantee de esta forma, alguien podria marcarme cual es el error, pq la idea q estoy tomando es muy parecida a la q estan criticando. Y llego a una solucion, donde no estoy probando que para todos los otros a y b no se cumpla


Quiero ver para que valores de a y b se cumple




Y recien aca, me meto en diferenciar los dos casos:


a) x+y>0
El limite de arriba es:
= 0

Sea





, DH(x,y)=

Entonces en (0,0) = = a

en (0,0) = en (0,0) = -b

Entonces, retomando.
Para x+y>0, quiero ver que valga esto
= 0
Para que g sea diferenciable en (0,0) si x+y>0

Haciendo el mismo procedimiento para x+y<= 0 se llega a la expresion del limite diferencial de f, que vale y da
= 0

Por lo tanto, si x+y<=0 g es diferenciable en (0,0) para cualquier a y b.
Queda ver el caso en q x+y >0, que llegamos a que queremos q valga el limite este:
= 0
con (a,b) = (1,1) vale por diferenciabilidad en (0,0)



Mi pregunta es, si esta mal diferenciar ahi los casos y como probar q no vale para otros a y b.
Gracias
Saludos
Facundo

En el I) dividimos y multiplicamos por quedando:

(Pues el término de la izquierda está acotado y el de la derecha se va a 0)

Saludos.[/quote]



NO VEO PORQUE LA PARTE IZQ ESTÁ ACOTADA... NI TMP PORQUE ASUMIS QUE EL LIMITE DE LA DERECHA ES 0... YA QUE LA F ES DIFERENCIABLE SOLO EN EL (0,0) Y ESE LIMITE QUE TE QUEDA NO ES EL DE LA DIFERENCIABILIDAD DE F, NI SIQUIERA CORRESPONDEN LAS DERIVADAS PARCIALES....

Hola.

Para la expresión de la izquierda tienes dos posibilidades:

i) Utilizar la equivalencia de las normas.
ii) Considerar que

Para la de la derecha considera el cambio

Saludos.

Edito: Por cierto. En este thread en particular hubo discusiones por dejar pasar detalles por alto. Para no volver a ello, pregunto ¿sabes cómo justificar que el cambio de variables es válido?

Estaba mirando justo este ejercicio de la función partida y no sabia bien como encararlo. y me encuentro con dos soluciones la de don equis y la de facu_zeta, que para colmo les da diferente jaja

Yo planeaba hacer todas las cuentas por definición diferenciando cada caso, osea -->0+ -->0-
La cuestión es si considero F(ax,by) como composición y uso la regla de la cadena como facu_zeta, o si no como seria la manera de hacerlo?

Si alguno me dice cual de los ejercicos que pusieron esta bien se lo agradeceria, saludos!



EDIT: acabo de hacerlo por definición y con tranquilidad y me dio como a don equis. Después veo si hago mi primera incursión en latex y lo cuelgo.

Empece como facu_zeta pensando a F(ax,by) como composicion de dos funciones, que es diferenciable en (0,0) pues f es diferenciable en cero y A(x,y) = (ax,by) es clase c1. Llamando H = F(A(x,y) llegue a que las derivadas parciales de H en 0 son a y -b respectivamente.

Luego plantee por definición las derivadas parciales de g, tendiendo a cero por izquierda y derecha y me quedan condiciones sobre a y b para que las derivadas existan (los limites laterales tienen que ser iguales). Luego me queda a = -1 y b=4 . probando con esos valores g es diferenciable.
Luego g no puede ser diferenciable si a y b tienen otros valores porque no existirían las derivadas parciales, que son condición necesaria para diferenciabilidad.

dammm
a mi me dio lo mismo q a vos, y mi razonamiento fue similar al tuyo...sin embargo yo esperaria q contest otro....

alguna idea para el 2? llegue a que como define una función en un entorno del (0,2) por el teorema de la función implícita. Ahora, como hago para encontrar esa función?

No podés encontrar la función(sino no necesitarías implícita), pero con el teorema de la función implicita podés calcular las derivadas parciales y hacer el punto b)

gracias, ahí me voy a fijar mejor eso, espero que no me lo tomen jejej.
Otra cosa, para el 3 que les parece esta resolución:



Fijense que les parece aver si está bién o tiré cualquiera.

Perdonen, pero x ahi me estoy equivocando, en el punto 1, antes de meterse a ver si G es diferenciable, no hay q ver antes que sea continua en (0,0)?

Si la función es diferenciable, entonces es continua.

Es verdad, gracias