Con respecto a la parte 2), la respuesta te la proporciona . Ahi está demostrado que si se anula en un solo punto la función, en ese punto alcanza un máximo y mínimo absoluto(en realidad, se prueba que si se anula en un solo punto, o es siempre positiva o negativa, salvo ese punto. De eso deducís que es un mínimo o máximo absoluto, según corresponda. Si le agregás la hipótesis de ... en particular es diferenciable, y luego, por ser un extremo absoluto, es un extremo, con lo que debe ser un punto crítico... ahi sale el final)
Para la parte 1):

Espero haber ayudado y haber sido claro. Saludos.

La primer parte habla de generalizar el teorema de Rolle para dos dimensiones, al menos así lo ví yo. Creo que podrías demostrarlo usando el TVM con dos puntos pertenecientes a la frontera de D.

gracias chicos.....usando sus ideas lo entendi!!!

y nuevamente...gracias!

Fijate que exequiel dice que NO es posible que pase eso

Tengo una consulta, a mi se me ocurrió probar el punto de otra manera, la dejo aca abajo :

Puedo utilizar una curva para parametrizar D :

tal que con y

Se que

y queriamos ver que pero tomando tenemos que

, entonces encontre un punto en el cual esto no se cumple.

Para esto tuve en cuenta que existe, pues .

Me podrìan decir cual es el error que estoy cometiendo? ( que poca fe me tengo )

che me parece que le pifiaste al parametrizar una region de R2 con una curva, porque fijate que D es un circulo de radio 2 sin el borde. asi que si queres usar algo parecido a lo que hiciste intenta parametrizarla en polares es decir con las variantes r y thita